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630 华南理 工大学 2016年攻读硕士学位研究生入学考试试卷 （试卷上做答无效，请在答题纸上做答，试后本卷必须与答题纸一同交回） 科目名称： 量子力学 适用专业： 凝聚态 物理 共 2 页 第 1 页 本试卷共 5大题，每题 30分，总分 150分 1. (1) 对自由 粒子，下面哪些力学量是守恒量 ，并给 出证明。 (a) 动量，（ b）能量， (c) 角动量 ， (c) 角动量平方 ， (d) 宇称 (2) 在变分法近似理论中 ， 证明对任意选择的归一化 试探波 函数 ， H 的期望值必高于基态能量 。 2. 一质量为 m的粒子在如下势 阱 中 运动： V (x, y, z)=V(x)+ V(y)+ V(z) 0 , / 2() 0 , / 2V x aVx xa 如 果如 果 0 , / 2() 0 , / 2V y bVy xb 如 果如 果 0 , / 2() 0 , / 2V z cVz zc 如 果如 果 求 0 0VE 下的能量本征值和本征函数 。 3. 有一个定域电子 ，只考虑自旋，它受到均匀磁场的作用，磁场 B 指向正 x 方向 。磁作用势为 ,2xxeB e BHscc设 0t 时电子的自旋 “向上”，即 2zs， (1) 用含时薛定谔方程 求 0t 时的波函数第 2 页 t ； (2) 求在 t 状态下自旋 的 三个方向分量 ,x y zs s s 的平均值 。 4. 电荷为 q 的自由谐振子，能量算符为 2 220 122pH m xm ， 能量本征函数记为(0)( ),n x 能量记为 (0)nE 。如外加均匀电场 ， 使 总能量算符变成2 220 1 -22pH m x q xm ， 新的能级记为 nE ， 本征函数记为 ()n x 。 用 微扰法或严格解求解 ()n x 和 nE ，并将 ()n x 用 (0)()n x 表示出来 。 5. (a) 写出两个无相互作用的全同 费米 子处于 120 , 0x a x a 的 无限深方势阱时的哈密顿量 。 (b)不考虑自旋 ， 给 出系统基态 ，第 一激发态和第二激发态的波函数 ，能量本征值，并确定其简并度 。 （已知单粒子态为 2 2 222( ) s in , 2nnn x nxEa a m a ）
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