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河南工业大学硕士研究生入学考试情况介绍科目名称：高等代数 科目代码： 837高等代数考试概要一、要求和知识点1. 一元多项式（1）考试要求.理解数域的概念。 1.掌握一元多项式的运算规律，掌握整除的概念和性质，并会运用带余除法。 2.掌握辗转相除法，并会求最大公因式，掌握互素的概念和性质。 3.掌握不可约多项式的概念和性质，理解因式分解定理。 4.掌握重因式的概念和判别。 5.理解多项式函数概念，掌握余数定理。 6.掌握实系数、复系数和有理系数多项式的因式分解及判别法。 7（2）知识点一元多项式，因式分解，整除，有理系数多项式，最大公因式，重因式等2. 行列式和矩阵（1）考试要求.理解行列式的概念和性质。 1.掌握常见行列式的计算方法。 2.理解矩阵的概念、掌握单位矩阵、数量矩阵、对角矩阵、对称矩阵及其性质。 3.掌握矩阵的线性运算、乘法、转置、方阵的幂与方阵的乘积的行列式以及它们的运算规则， 4并会进行计算。.掌握矩阵的初等变换，初等矩阵的概念，并会用初等变换求矩阵的秩和逆矩阵。 5.掌握逆矩阵的概念及性质，以及矩阵可逆的条件，掌握利用伴随矩阵求逆矩阵的方法。 6.熟悉分块矩阵及其运算。 7（2）知识点行列式的概念和性质，行列式的计算，矩阵的概念、矩阵的加、减、乘等运算，数量矩阵，矩阵的转置，矩阵乘积的行列式与秩，逆矩阵，矩阵的分块，初等矩阵，矩阵的等价，分块矩阵乘法的初等变换。3. 向量组的线性相关性（1）考试要求.理解 维向量空间，向量的线性组合与线性表示的概念。 1 n.理解线性相关、线性无关的定义，并会应用向量组线性相关，无关的有关性质及判别法。 2.理解向量组的极大无关组和向量组的秩的概念，会求向量组的极大无关组及秩。 3.理解向量组等价的概念。 4.理解矩阵秩的概念，会求矩阵的秩。 5（2）知识点线性组合，线性相关，线性无关，向量组和矩阵的秩。4. 线性方程组（1）考试要求.了解消元法求解线性方程组。 1.理解齐次和非齐次线性方程组的解的特点。 2.掌握判定线性方程组解的情况的方法。 3.理解线性方程组解的结构。 4（2）知识点消元法,向量空间，线性方程组有解判别定理，线性方程组解的结构，基础解系。5. 二次型（1）考试要求.掌握二次型及其矩阵表示，理解二次型秩的概念。 1.掌握合同变换和合同矩阵的概念，理解二次型的标准形，规范形的概念，了解惯性定性及 2规范形的唯一性。.掌握配方法和正交变换法化二次型为标准形的方法。 3.掌握正定二次型和正定矩阵的概念及判别。 4（2）知识点线性替换，n 元二次型，标准形，二次型的矩阵，规范形，惯性定理，正定二次型。6. 线性空间（1）考试要求.掌握线性空间定义与性质。 1.掌握线性空间的维数，基与坐标的概念和求法。 2.理解基变换与坐标变换的概念，会求过渡矩阵。 3.理解子空间的概念，掌握子空间的性质及生成的条件。 4.掌握两个子空间的交与和的概念及性质。 5.了解线性空间的同构的概念。 6（2）知识点线性空间的定义与简单性质，维数，基与坐标，基变换与坐标变换，线性子空间，子空间的交与和，线性空间的同构。7. 线性变换（1）考试要求.理解线性变换的定义和运算。 1.掌握线性变换的矩阵求法。 2.掌握线性变换或矩阵的特征值与特征向量。 3.掌握矩阵的相似对角化问题。 4.理解线性变换的值域与核。 5.掌握不变子空间的概念和证明方法。 6（2）知识点线性变换的定义，运算，矩阵，线性变换的值域，核，线性变换的矩阵在某组基下的矩阵是对角矩阵的条件，不变子空间。8. -矩阵（1）考试要求.了解多项式矩阵与矩阵多项式的关系， -矩阵等价与矩阵相似的关系。 1 .掌握行列式因子、不变因子、初等因子的概念与计算。 2.掌握行列式因子与标准型的对应，初等因子组与 Jordan 标准形的对应。 3.掌握 -矩阵可逆的定义与判别条件 .会计算 -矩阵的标准形，复系数矩阵的 Jordan 标准 4 形。（2）知识点-矩阵的相关概念、等价以及判定；行列式因子、不变因子、初等因子的相关概念与应用；-矩阵的标准形与 Jordan 标准形。9. 欧氏空间（1）考试要求.理解欧氏空间的定义及性质。 1.理解标准正交基的定义及判别方法。 2.理解子空间的定义和正交补的求法。 3.掌握正交变换和对称变换的判别条件。 4（2）知识点欧氏空间的概念，标准正交基，子空间，正交变换，对称变换。二、教材及其参考书1 高等代数北京大学数学系几何与代数教研室前代数小组编，王萼芳 石生明 修订，高等教育出版社，出版年 2003.2高等代数王萼芳 编高等教育出版社，出版年 2009.3高等代数选讲 ，张同斌，万建军主编，合肥工业大学出版社，2009河南工业大学2017年硕士研究生入学考试试题考试科目代码及名称：837 高等代数 共 2 页（第 1 页） 注意：1、本试题纸上不答题，所有答案均写在答题纸上2、本试题纸必须连同答题纸一起上交。一、 （15 分）设齐次线性方程组，其中 . 0321321nnaxbxa 2,0nba讨论 为何值时， （1）方程组仅有零解？（ 2）有无穷多解？在有无穷多解时，求出ba,通解.二、 （15 分）设多项式 互素，证明 .)(,xgf 1)(),(xgfxf三、 （15 分）设 是 3 阶方阵， 分别是 的特征值 1，-1 的特征向量，且向量A21,XA满足 .3X213X（1）证明 线性无关；3,（2）令 ，求 .)(21PAP1四、 （15 分）设 是 阶方阵，满足 ，求证:BA,nB，其中 表示 的秩.)()(rrr)(Ar五、 （15 分）设向量 能由向量组 线性表出，但 不能由部分组 线s,1 11,s性表出. 证明向量组 与 等价.,1s s六、 （15 分）设 为 维欧氏空间，证明：Vn（1）对 中每个线性变换 ，都存在唯一的共轭变换 ，即存在唯一的线性变换 ，*使对任意 ，有 ；, )(,),(*（2） 为对称变换 ；*考试科目代码及名称：837 高等代数 共 2 页（第 2 页）（3） 为正交变换 （恒等变换）.I*七、 （15 分）设方程组 的解空间为 ，方程组021nxx M的解空间为 ，求证 .nx21 NN八、 （15 分）设 是实数域上的 阶对称矩阵，且 ，并且 .AA2 )1()nrr（1）求证 是半正定的；（2）计算 .|nE九、 （15 分）设 是数域 上 2 阶方阵的全体，线性变换 在基 下的2F2121,E矩阵为 .即 ，其中 为第102A AEE),(),( 21212121 ij-元素为 1，其余元素全为 0 的 2 阶方阵. 分别求 的像空间 和核空间 的),(ji ImKer维数和一组基.十、 （15 分）设 是数域 上 阶方阵的全体， 是 的一个非空子集，且满足nFnVnF以下条件：（1） 中至少有一个非零矩阵；V（2）对 中任意方阵 ，总有 属于 ；BA,（3）对 中任意方阵 ， 中任意方阵 ， 都属于 .nFXA,V证明: .nFV河南工业大学2017年硕士研究生入学考试参考答案及评分标准考试科目代码及名称：837 高等代数 共 5 页（第 1 页）一、解：设齐次线性方程组的系数矩阵为 ，即 .Aababb 计算 5 分1)(| nbanA由克拉默法则知，当 ，即 且 时， 仅有零解.8 分0|Abna)1(0AX当 时， ，此时 的通解为：ba 00 r 0，其中， 为任意常数， 为第一个分量为-1，第 个分量为 1，其余分iniicX1icii量为 0 的向量.11 分当 时， ，此时 的通解为：bna)1( 0011001 rA0AX，其中， 为任意常数， .15 分cXcT),(二、证明：（反证法）设 ，则 ，注意到 互素，)(),()(xgfxfxd)(|)(xgfd)(,xgf若 ，不妨设 不可约，则 整除 中之一 1d,.5 分不妨设 不整除 ，而整除 ，于是存在 使得 .)(xd)(xg)(xf)(1xh)()(1xdhf考试科目代码及名称：837 高等代数 共 5 页（第 2 页）另一方面，注意到 ，于是存在 使)(|)xgfxd)(2xh得 .10)(2hgxf分进一步， ，故 矛盾.15 分)()()() 122 xhxdfxd)(|xgd三、解：（1）由已知 是 的对应于不同特征值的特征向量，所以 线性无21,XA 21,X关，且 不再是 的特征向21X量.5 分并且 不是 的特征向量.事实上，若不然，则存在 的特征值 使得3AA，从而 仍为 的特征向量，矛盾. 同时说明 不能21XX321X 3X由 线性表出，故 线性无关.10 分21, 3,（2）由， 0101),(),(),( 321321321 PXAXXAP再由（1）知 可逆，故 .1501P分四、证明：设 的行向量生成的空间为 ， 的行向量生成的空间为 ， 的行A1VB2VBA向量生成的空间为 ， 的行向量生成的空间为 . 由于 的行向量可由 的行VB0向量和 的行向量线性表出，B故 .521V分又由于 的行向量可由 的行向量线性表出； 的行向量可由 的行向量线性表出，ABBAA而 ，故 .10 分B210V由维数公式 ，又0212121 dimididimidiimVVVV ，故0)(,)(,)(,)( ABrBrArBAr 考试科目代码及名称：837 高等代数 共 5 页（第 3 页）15 分)()(ABrrBAr五、证明：令 ，由已知 能由向量组,12121 ss线性表出，得 能由 线性表s,1出5 分另一方面，显然 均能由 线性表121,s B出.7 分事实上， 也可以由 线性表出. 注意到 能由向量组 线性表出，故存在sBs,1，使得 .注意到 不能由部分组 线性表sk,21 skk21 11,s出，故 .于是 .故 也可以由 线性0s 121 ssssss k sB表出. 综上可得 能由 线性表出 .AB于是， 与 等价.15,11s s,1分六、证明：（1）设 为 的标准正交基，令n,21 VA , Tn ,*21则 . .3 分)(,),(事实上，设 ,),(,2121 Tnnx ,),)(,(2121 Tnny （),()21nxA
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