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科目代码：618 科目名称：量子力学 第 1 页 共 2 页 南京航空航天大学 2015 年硕士研究生入学考试初试试题（ A卷） 科目代码: 618 科目名称: 量子力学 满分: 150 分 注意: 认真阅读答题纸上的注意事项；所有答案必须写在答题纸上，写在本试题纸或草稿纸上均无效；本试题纸须随答题纸一起装入试题袋中交回！ 一、 简答题 (20 分，每题 10 分 ) 证明：薛定谔方程中如果 V(x)是偶函数，即 V(-x)=V(x)，那么波函数 (x)总可以取作偶函数或奇函数。 经典物理中一个矢量 rv与自身的矢量积(叉乘)恒为零 0rrvv，对于量子力学中矢量算符这一结论仍然普遍成立吗？试举例说明。 二、 如果算符 P满足等幂性，即 PP2= ，那么我们称为 P投影算符，试证明两投影算符1P 、1P 之和21PP + 也为为投影算符的重要条件为这两个投影算符对易 0,21=PP 。 (20 分 ) 三、 质量为 m 的粒子在一维无限深方势阱0 时刻该粒子的波函数； 求 t0 时刻测量到粒子的能量为22222man h的几率是多少？ 求 t0 时刻粒子的平均能量 和平均位置 。 (30 分 ) 科目代码：618 科目名称：量子力学 第 2 页 共 2 页 四、 质量为 m、电荷为 q 的粒子在三维各向同性谐振子势 V(r)= m2(x2+ y2+ z2)/2中运动，同时受到一个沿 x方向的均匀常电场 E=E0xi 作用。求粒子的能量本征值和第一激发态的简并度。此时轨道角动 量是否守恒？如回答是，则请写出此守恒力学量的表达式。 (30分 ) 五、 设氢原子处于状态=),()(3),()(21),(10211121YrRYrRsrz求轨道角动量 z 分量zL和自旋角动量 z 分量 z的平均值； 求总磁矩 SeLeM2vvv= 的 z 分量的平均值。 (20 分 ) 六、 一个二能级系统，哈密顿量为 H，能级大小间隔为 E0，现在此系统受到一个微扰 H 。在 H表象中， H 的表示为 H=(x+y)，其中 x 、 y是泡利矩阵， 为实数。请算出系统受微扰后的能级间隔 (精确到二级微扰修正 )。 (30 分 )
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