南京航空航天大学601数学分析真题2018年硕士研究生入学考试初试试题.pdf

科目代码：601 科目名称：数学分析 第 1 页 共2页 南京航空航天大学 2018 年硕士研究生入学考试初试试题 （ A卷 ） 科目代码: 601 科目名称: 数学分析 满分: 150 分 注意: 认真阅读答题纸上的注意事项；所有答案必须写在答题纸上，写在本试题纸或草稿纸上均无 效；本试题纸须随答题纸一起装入试题袋中交回！ 1. 计算下列极限(每题 6分，共 12 分)。 (1). 1 12 lim (1+ )(1+ ) (1+ ) n n n nnn (2) 357 6 4 0 1 + 3111 lim 12 1 x x xxx xx x 2. 计算下列积分(每题 6分，共 12 分)。 (1) 2 0 sin 1c o s xx dx x (2) 已知 tan n n I xdx ，求此不定积分的递推公式。 3. 证明函数 () f x 在区间I 上一致连续的充分必要条件是：对I 中任意的数列 ,y , nn x 只要 (y ) = 0 , lim n n n x 就有 () li = m( y ) ) 0 . n nn fx f (13分) 4. 证明导数极限定理： 设函数 () f x 在点 0 x 的某邻域 0 () Ux 内连续， 在 0 () o Ux内可导， 且极限 0 lim ( ) xx f x 存在，则函数在点 0 x 可导，并且 0 0 ( )= lim ( ) xx fxf x . (13分) 5. 在计算定积分 2 2 22 2 0 (1 )1 (1 ) (2 ) x dx xx x 时有一个下面的做法： 因为 2 22 2 (2 ) (1 )1 arctan 1(1 )(2 ) xx x xxx x ，于是由 NewtonLeibniz 公式， 2 2 2 22 2 0 0 (1 )1 (2 ) arctan 0. (1 ) (2 ) 1 xx x dx xx x x 你认为此做法有错吗？错在哪里？正确的做法应该怎样？(12 分) 6判断积分 + 0 cos 2 1 x x dx x 的敛散性。如果收敛，进一步判断是条件收敛还是绝对收敛。(13 分)