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科目代码：814 科目名称：高等代数 第 1 页 共 2 页 南京航空航天大学 2015 年硕士研究生入学考试初试试题（ A卷） 科目代码: 814 科目名称: 高等代数 满分: 150 分 注意: 认真阅读答题纸上的注意事项；所有答案必须写在答题纸上，写在本试题纸或草稿纸上均无效；本试题纸须随答题纸一起装入试题袋中交回！ 一、(15 分)设 baxxxxf +=244)( ，符号“|”表示多项式的整除. 1求 ba, 的值，使得22)2()( = xxf ； 2求 ba, 的值，使得 )(|22xfxx ； 3求 ba, 的值，使得 )(|)1(2xfx . 二、(15 分)设向量组+=221,031,32,1214321aa . 1求参数 a，使得321, 线性相关； 2求参数 a，使得3 不能由421, 线性表出； 3当 0=a 时，将3 用421, 线性表出. 三、(20 分)设方程组 =+=+=+=+=+23213213213213321,12)1()1(,1:;,:axaxxaxxaxaxxxaIIaxxaxaxxxaI 同解. 1求 a的值； 2求方程组的模（长度）最小的特解. 四、(20 分)设 n维向量TTn )0,0,(,)1,1,1(LL= ，并且矩阵TTBA = , ，这里“ T ”表示转置，以下各题相同. 1求 A的特征值和特征向量； 2求 B 的特征值和特征向量； 3证明 A与 B 相似. 科目代码：814 科目名称：高等代数 第 2 页 共 2 页 五、(20 分)已知 3 维实向量空间3R 的线性变换 在基 ,)0,1,0(,)0,0,1(21TT= T)1,0,0(3= 下的矩阵是=2131623baA ，且T)1,1,2(= 是 的一个特征向量 1求 ba, 的值； 2求 A的 Jordan 标准形（要求为上三角矩阵） ； 3将 扩充成3R 的一组基，使得 在这组基下的矩阵为 Jordan 形矩阵 六、(20 分)设 3 阶实矩阵 A的 3 个列向量是 , ，二次型 ,)()()(),(222321XXXxxxfTTT += 其中TxxxX ),(321= . 1求二次型的矩阵； 2证明二次型为正定二次型的充分必要条件是 , 线性无关； 3若 0= ，并且 , 是标准正交向量组，求二次型的标准形. 七、(20 分)设 A是 n阶对称矩阵， 是 n维非零列向量，分块矩阵=0TAB，证明： 1若 A的秩为 n，则 B 可逆的充分必要条件是 01 AT； 2若 A的秩为 r ，则 B 的秩也为 r 的充分必要条件是方程组=0XAXT有解; 3若 A的秩为 1n ，则 B 可逆的充分必要条件是方程组 =AX 无解 八、(20 分)设 n阶实矩阵 A的 n个特征值均为实数，且 AAAATT= ，证明： 1若 是 A的属于特征值 的特征向量，则 也是TA 的属于特征值 的特征向量; 2若 是 A的任一特征值，则2 也是TAA 的特征值; 3 A的属于不同特征值的特征向量一定正交.
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