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中国科学院大学 2020 年招收攻读硕士学位研究生入学统一考试试题科目名称：物理专业综合考生须知：1. 本试卷满分为 150 分，全部考试时间总计 180 分钟。2. 所有答案必须写在答题纸上，写在试题纸上或草稿纸上一律无效。一、量子力学部分（共 60 分） 1、（30 分）考虑一维束缚态：（1） 证明 y(x,t) y(x,t) 不随时间变化，此处波函数y不必是定态；（2） 证明对于定态，动量的期望值为零；（3） 证明如果粒子在t = 0 时刻处于定态，则在以后时刻永远保持定态。第 2 页，共 2 页科目名称：物理专业综合2、（30 分）考虑谐振子问题：p 212（1） 一维谐振子的哈密顿量为 H =+2m最小值与该谐振子的基态能量一致；kx2，证明由不确定性关系得到的能量（2） 若（1）中的基态波函数是高斯型e-bx2 ，用变分法求b；（3） 利用升、降算符写出(1)中的第一激发态的波函数（不必归一）；（4） ） 对于三维各向同性谐振子， 第一激发态是三重简并的。现有一微扰 010 H = bxy =b 100 ，写出该微扰引起的第一激发态的能级分裂。 000 2mw二、电动力学部分（共 60 分） 1、（30 分）如图，一电量为q 的点电荷位于无限大接地理想导体平面上方，它沿 z 轴在平衡位置 z0= a 处做简谐振荡，振幅为 l，频率为w 且 2p c a . wZ2lqe0aO x（1） 写出整个系统的电偶极矩、磁偶极矩、电四极矩随时间变化的表达式； （2） 求在球坐标系中远处（ r a, z 0 ）的电偶极、y磁偶极、电四极辐射的电场和磁场； （3） 写出导体面内远离原点的r 处的总电场和总磁场，它们满足理想导体界面上的边值关系吗？ (提示： 远离原点处的电偶极辐射磁场 B (r ) =1eikR p n 04pe c3 R 磁偶极辐射磁场 B (r ) =m0eikR (m n ) n 电四极辐射磁场 B (r ) =4p c2 R 1eikR D n 上式中 R =24pec4 R r , k = w , n = rcR0)2、（30 分）静止质量为 2m 和 9m 的两质点分别以速率 0.6c 和 0.8c 沿直线相向运动（c 为光速），碰撞后结合成一复合质点，求：（1） 碰撞前两质点的能量和动量；（2） 碰撞后复合质点的静止质量和速度。 三、热力学与统计物理部分（共 30 分） 1、（30 分）一个可逆的卡诺热机运行在两个温度分别为 T1 和 T2 的热源之间，其中 T2 T1。假设低温热源热容极大，在热机运行过程中保持恒温 T1。高温热源由一定量的恒定体积的理想气体组成，其热容 Cv 为常数。当热机运行一段时间后， 原高温热源的温度将从 T2 降低到 T1。求该过程中：（1） 高温热源的熵变 S；（2） 热机所做的功；（3） 整个系统的熵变。
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