长沙理工大学2020年实变函数考研复试考试大纲.docx

新祥旭考研官网 http:/www.xxxedu.net/长沙理工大学 2020 年实变函数考研复试考试大纲考试科目：实变函数参考书目：1 实变函数与泛函分析基础( 第三版)程其襄等高等教育出版社，2010。2 实变函数与泛函分析概要（第三版）郑维行、王声望主编高等教育出版社，2005。题型：试卷满分为 100 分，其中：判断题占 30%，计算分析题占 20%，证明题占 50%。专业课考试大纲：一、考试要求主要考察考生是否掌握了实变函数的基本概念、基本理论和基本方法，包括集合的势与对等、Borel 集类、Lebesgue 测度、可测函数、可测函数的收敛、Lebesgue 积分等的基本概念；集合序列的上下限集、可测集经交并差运算、Lebesgue 积分等的计算方法，Cantor 集的构造、可测函数“几乎处处收敛”与“测度收敛”以及“近一致收敛”之间的关系，Lebesgue 积分与广义 Riemann 积分的异同，一般可测函数积分的性质。Riemann 可积性与 Lebesgue 可积性之间的关系，Lebesgue 积分的极限定理等；以及是否具备运用基本理论和基本方法，分析解决问题的能力。二、考试内容 1、集合的基本运算；集合序列的上、下限集。集合的势的定义，势的性质，势的比较。常见集合的势及其基本性质； 2、n 维空间中集合的内点、边界点、聚点、开集、闭集等概念，明确开集的构造.理解完备集的概念,特别要掌握 Cantor 集； 3、外测度概念，外测度与体积的关系，可测集的定义及其性质，包括可测集经交、并、差运算后的可测性，可数个可测集的交集或并集的可测性、可数可加性以及可测集序列的极限之可测性。Borel 集类；Lebesgue 可测集的结构； 4、可测函数的概念,可测函数的特征性质,简单函数的有关性质。掌握“几乎处处收敛”与“测度收敛”以及“近一致收敛”的概念和它们之间的关系； 5、一般可测函数积分的定义，Lebesgue 积分与广义 Riemann 积分的异同，一般可测函数积分的性质。Riemann 可积性与 Lebesgue 可积性之间的关系。Lebesgue 积分的极限定理，包括 Levi 定理、Fatou 引理、 Lebesue 控制收敛定理及其应用，Riemann 可积的充要条件。掌握 L 积分的概念,理解 L 积分和 R 积分的关系.掌握 L 积分的性质,对有关 L 积分的三个极限定理及其应用。