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华侨大学 2018 年 硕士 招生考试初试自命题科目试题 （答案必须写在答题纸上） 招生 专业 基础数学 科目名称 高等代数 科目代码 813 一、 （本题 20 分） 给定线性方程组1234132411xxx x axxx x b ，问当 ,ab满足什么条件时方程组有解？并在有解时求其通解。 二、 （本题 20 分） 设 2 1 11 2 11 1 2A，求一个正交矩阵 P ，使得 TP AP 为对角阵。 三、 （本题 20 分） （ 1）求多项式 32( ) 3 2 2f x x x x 的有理根。 （ 2）设 ()gx 是整系数多项式，若 (1), (2)gg都是奇数，证明： ()gx 没有整数根。 四、 （本题 20 分） 设 ()nMF是数域 F 上 n 阶矩阵全体构成的线性空间， ()nA M F ，记 ( ) | ( ) F A f A f x F x。 （ 1） 证明： FA是 ()nMF的子空间。 （ 2） 若 0 1 20010 0 0A，求 FA的一组基与 维数。 （ 3） 设 A 的极小多项式 11 1 0() mmAmm x x a x a x a L， 求 FA的一组基与维数。 共 2 页 第 1 页招生 专业 基础数学 科目名称 高等代数 科目代码 813 五、 （本题 20 分） 设 A 是数域 F 上 n 阶矩阵，定义矩阵空间 ()nMF上的变换： ()X AX XA 。 （ 1）证明： 是 ()nMF上的线性变换。 （ 2）若 1002A ，求 在自然基 11 12 21 22, , ,E E E E 下的矩阵 B ，并求 Im() 和 ()Ker 。 六、 （本题 15 分） 证明：任意 n 阶矩阵都可以唯一写成对称矩阵与反对称矩阵之和。 七、 （本题 20 分） 设 是 数域 F 上 n 维线性空间 V 上的线性变换。 证明：存在 V 上的线性变换,，使得 ，其中 是可逆变换， 2= 。 八、 （本题 15 分） 设 A 是复数域 上 n 阶矩阵且秩满足 2( ) ( )r A r A 。证明： A 相似于分块矩阵BOOO，其中 B 是可逆矩阵。 共 2 页 第 2 页
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