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五 、 （ 20 分 ） 设 A a b 为 数 域 上 的 二 阶 方 阵 ， 定 义 上 变 换 为 ： ( X ) AX XA, X P22 .（ 1） 证 明（ 2） 求 为 线 性 变 换 ； 在 基 c d 下 的 矩 阵 ；（ 3） 证 明 必 以 0 为 特 征 值 ， 并 求 出 0 作 为 的 特 征 值 的 重 数 .六 、 （ 20 分 ） 设 二 次 型f (x , x , x ) xT Ax ax 2 2x 2 2x 2 2bx x (b 0)1 2 3 1 2 3 1 3其 中 二 次 型 的 矩 阵 A 的 特 征 值 之 和 为 1， 特 征 值 之 积 为 12 .（ 1） 写 出 二 次 型 的 矩 阵 A ；（ 2） 求 的 值 ；（ 3） 利 用 正 交 变 换 将 二 次 型 化 为 标 准 形 ， 并 写 出 所 用 的 正 交 变 换 和 对 应 的 正 交 矩 阵 .七 、 （ 15 分 ） 设 ， 且 .证 明 ： .八 、 （ 10 分 ） 设 是 欧 氏 空 间 的 一 组 基 ， 证 明 ：（ 1） 如 果 使 ， 那 么 ；（ 2） 如 果 使 对 任 一 有 ， 那 么 .r九 、 （ 15 分 ） . 设 1 ,2 , ,r 是 一 组 线 性 无 关 的 向 量 ， i kij j , i 1, 2, , r .证 明 ： 1 , 2 , , r 线 性 无 关 的 充j 1分 必 要 条 件 是 .西 安 建 筑 科 技 大 学2018 年攻读硕士学位研究生招生考试试题(答案书写在本试题纸上无效。考试结束后本试题纸须附在答题纸内交回) 共 2 页考试科目: 适用专业:（8 18）高等 代数 数 学 一 、 填 空 题 （ 共 6 题 ， 每 题 5 分 ， 共 30 分 ）1. 假 设 除 以 得 余 数 是 7， 除 以 的 余 数 是 5， 则 , .2 设 是 3 次 方 程 的 三 个 根 ， 则 3 阶 行 列 式x1x3 x2x2x1 x3x3x2 x1.3. 若 二 次 型4. 在 三 维 空 间 中 ， 线 性 变 换 满 足 ：是 正 定 的 ， 则 t 的 取 值 范 围 是 . 则 在 基 1 (1, 0, 0, ), 2 (0,1, 0), 3 (0, 0,1) 下 的 矩 阵 为 .5 设 W a ex x2 a ex x a ex | a , a , a R是 实 数 域 上 线 性 空 间 R3 的 子 空 间 ， 则 其 一 组 基 为 .2 1 0 2 1 06. 设 为 n 阶 正 定 矩 阵 ， 其 特 征 值 为 (i 1, 2, , n) ,则 其 伴 随 矩 阵i 的 特 征 值 为 .二 、 （ 15 分 ） 计 算 阶 行 列 式 .三 、 （ 10 分 ） 设 线 性 方 程 组 的 解 空 间 为 . 求 （ 1） 的 基 和 维 数 ； （ 2） 的 基 和 维 数 .四 、 （ 15 分 ） 已 知 方 程 组 的 通 解 为 k ,其 中 为 方 程 组 的 一 个 特 解 ， 是 导 出 组 的 基 础 解 系 ， 为 任 意 常 数 .求 （ 1） 的 值 ；（ 2） 方 程 组 的 通 解 .第 1 页 第 2 页
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