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第 页（共 5页 ） 1 青 岛 科 技 大 学 二 一 六 年 硕 士研究生 入学考 试试 题 考试科目： 高等代数 注意事项： 1本试卷共 四 道大题（共计 26 个小题），满分 150 分； 2本卷属试题卷，答题另有答题卷，答案一律写在答题卷上，写在该试题卷上或草纸上均无效。要注意试卷清洁，不要在试卷上涂划； 3必须用蓝、黑钢笔或签字笔答题，其它均无效。 一 、 填空题（每小题 4分，共 40分） 1. 设 42( ) 8 f x x a x b x Q x ,如果 1是 ()fx的重根，则 a ， b 。 2. 若 1 1 12 2 23 3 33 9 33 453a b ca b ca b c，则1 2 31 2 31 2 3a a ab b bc c c 。 3. 记矩阵 1 1 101 1 191 5 25第三列三个位置的代数余子式依次是 13 23 33,A A A ，则表达式13 23 3325A A A 。 4.设 , AB满足 2A B A B E ，其中 E 是 3阶单位矩阵，若 2 0 10 2 0003A，则 B 。 5. t 满足 时，二次型 2 2 21 1 2 2 32 4 ( 1)x tx x x t x 是正定的。 6. 在 线 性 空 间 3P 中 ， 已 知 两 向 量 组 12(1, 2,1, 0)( 1,1,1,1, ) ， 12(2, 1, 0,1)(1, 1,3, 7) ， 1 2 1 2,LL 的维数是 。 7. 已知三阶矩阵 A 的特征值分别是 1， -1， 2，则 2 4AE 。 第 页（共 5页 ） 2 8. 在 线 性 空 间 3P 中，线性变换 1 2 3 1 2 2 3 1( , , ) ( 2 , , )x x x x x x x x ， 在基1 2 3( 1 , 0 , 0 ) , ( 0 ,1 , 0 ) , ( 0 , 0 ,1 ) 下的矩阵是 。 9. 4 级矩阵 A 的初等因子为 21, 1, ( 2) ，则 A 的若尔当标准形为 。 10. 已知 3 维欧氏空间中有一组基 1 2 3, ，其度量矩阵为 1 1 01 2 00 0 3A，向量1 2 323 ，则 。 二、选择题（每小题 3分，满分 30分） 1.若 ( ( ), ( ) 1f x g x ，则以下命题为假的是（ ）。 A 22( ( ), ( ) 1f x g x ； B 若 还有 ( ( ), ( ) 1f x h x ，则 ( ( ), ( ) ( ) 1f x g x h x； C ( ) ( ) ( )g x f x h x ，必有 ( ) ( )g x hx ； D ( ( ) ( ) , ( ) ( ) ) 1f x g x f x g x 。 2. 设 A 为 3阶矩阵，将 A 的第 2行加到第一行得 B ，再将 B 的第 1列的 -1倍加到第 2列得C ，记 1 1 00 1 00 0 1P，则（ ）。 A 1C P AP ； B 1C PAP ； C C PAP ； D C PAP 。 3. 若 1 1 2 2 1 2, , . . . , , , , . . . ,rtSS 是有限维线性空间 V 的两个线性无关的向量组，且 rt ，则（ ） A 一定存在 2h S ，使得 1 hS 仍是线性无关的 ； B 一定不存在 2h S ，使得 1 hS 仍是线性无关的 ； 第 页（共 5页 ） 3 C 可能存在 1232, , ., trj j jSS ，使得 13SS是线性无关的（ 11 . trj j t ） ； D 以上选项都不对 。 4.若实系数方程组 1 1 12 2 23 3 3a x b y ca x b y ca x b y c有解，记 111222333a b cD a b ca b c ，则（ ） 。 A 0D ； B 0D ； C 0D ； D D 可以是任何实数 。 5.向量 1 2 3, 线性无关， 1 可由 1 2 3, 线性表示，而 2 不能 由 1 2 3, 线性表示 ，则必有（ ）。 A 1 2 3 1, , , 线性相关 ； B 1 2 3 2, , , 线性相关 ； C 1 2 3 1, , , 线性无关 ； D 1 2 3 2, , , 线性无关 。 6.设自然数 1mn， R 表示实数域，记 mn 型实矩阵 ij mna 的行向量组为 12, ,., m ，列向量组为 12, ,., n ，若它们线性组合的向量空间分别记为 1 1 1 2 2 . . . , 1 , 2 , . . . , ,m m iS R i m 1 1 1 2 2 . . . , 1 , 2 , . . . ,n n iS R i n 。 则维数 1dimS 与 2dimS 的关系是（ ）。 A 12dim dimSS ； B 12dim dimSS ； C 12dim dimSS ； D 没有确定的大小关系。 7.二次型 2 2 22 4 2 2x y z xy yz xz 的矩阵是（ ）。 A 1 2 12 2 11 1 1； B 2 2 12 1 11 1 1； 第 页（共 5页 ） 4 C1 2 1 02 2 1 01 1 1 00 0 0 0； D 在目前条件下不确定。 8. 设 12(0 , , 0 ) , 0 , ( , , 0 ) ,V x x R x V x y x y R ，则（ ）是 3R 的子空间。 A 1V ； B 2V ； C 12VV； D 12VV 。 9.下列命题为真的是（ ）。 A 线性空间 V 上的线性变换 在不同基下的矩阵合同； B 秩相等的两个矩阵等价； C 线性变换将线性相关向量组变为线性相关向量组； D 线性变换将线性无关向量组变为线性无关向量组。 10 设 ,PQ都是 n 阶正交矩阵，则下列矩阵仍是正交矩阵的是（ ）。 A PQ ； B PQ ； C ()kPk R ； D 11PQ。 三、 计算题（满分 40分） 1 (12 分 ) 求 a 与 b ，使齐次线性方程组03020zbyxzbyxzyax 有非零解，并求相应的基础解系。 2.（ 13分） 在线性空间 3Rx 中，求基 2 2 2 21 , , 1 , ,x x x x x x x x 到 基的过 渡 矩阵，并求向量 212xx在基 221, ,x x x x下的坐标。 3 （ 15 分）已知 22P 的空间 1 1 1 21 1 2 22 1 2 2 0, ijxxW x x x Pxx 和线性变换() TTX B X X B ， 22XP ， 1101B 。 （ 1）求 W 的一组基； （ 2） 因为 W 是 的不变子空间 ， 将 看成 W 上的线性变换，求 W 的一组基，使 在该基下的矩阵为对角矩阵。 四、 证明题（满分 40分） 第 页（共 5页 ） 5 1.（ 13分） 证明110 0 01 0 00 1 0 00 0 0 1nn 。 2 （ 12分） 设 A 为 nn 矩阵，证明：如果 2AE ，那么 ( ) ( )ra n k A E ra n k A E n 。 3（ 15 分）令 为数域 F 上 n 维线性空间 V 的一个线性变换，且满足条件 2 ，证明：（ 1） ( ) ( ) | K er u u u V ； （ 2） ( ) Im ( )V Ker 。
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