资源描述
第 页（共 2 页 ） 1 青 岛 科 技 大 学 二 一 七 年 硕 士研究生 入学考 试 试 题 1 考试科目： 高等代数 注意事项： 1本试卷共 10 道大题（共计 11 个小题），满分 150 分； 2本卷属试 题 卷，答题另有答题 卷，答案一律写在答题卷 上， 写在该试题卷上或草纸上均无效。要注意试卷清洁，不要在试卷上涂划； 3必须用蓝、黑钢笔或签字笔答题，其它均无效。 一、 （ 15 分）证明：如果 ( ( ) , ( ) ) 1 , ( ( ) , ( ) ) 1f x g x f x h x，那么 ( ( , ( ) ( ) 1f x g x h x 。 二、 （ 15 分）计算 n 阶行列式的值（其中 0, 1, 2,.,ia i n ） ： 1231 1 1 . . 1 11 1 1 . . 1 11 1 1 . . 1 1. . . . . . . . . . . .1 1 1 . . 1 1 naaDaa三、（ 15 分） 给定线性方程组 1 2 31 2 31 2 3112ax x xx ax xx x ax ，讨论 当 a 取何值时， 方程组 有唯一解 、 无解 、 有无穷多解 ？并在有无穷多解 时求出通解 . 四 、 （ 15 分）求实二次型 1 2 3 1 2 1 3 2 3( , , ) 4 2 2f x x x x x x x x x 的秩、正惯性指数和负惯性指数 。 五 、（ 20 分） 证明：如果 A 是 nn 矩阵 )2( n ，那么 * , ( )( ) 1 , ( ) 10 , ( ) 1n r a n k A nr a n k A r a n k A nr a n k A n 当当当。 六、 （ 20 分）设 A 是数域 P 上 6 阶矩阵 ， 行列式因子为： 326 1 2 3 ,D 第 页（共 2 页 ） 2 5 1 2 3 41 2 , 1D D D D D 。 （ 1） 求 A 的所有不变因子； （ 2） 写出 A 的 Jordan 标准形。 七、（ 25 分） 设 是数域 P 上线性空间 V 的一个 线性变换，若有 V 使得 1( ) 0k ，但 ( ) 0k ，这里 dimkV 。证明： （ 1） 1, ( ),., ( )k 线性无关； （ 2）存在 V 的一组基，使得 在该组基下的矩阵为0 0 . 0 01 0 . 0 00 1 . 0 0. . . . .0 0 . 1 0 kk。 八、（ 25 分） 设 V 是复数域上的 n 维线性空间， 和 是 V 上的线性变换 。 （ 1） 证明 1(0)V 当且仅当 2 0 。 （ 2） 若 = ，证明：如果 0 是 的一个特征值，那么0V是 的不变子空间； 并且 和 至少有一个公共的特征向量。
展开阅读全文