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1. (20分 ) 设 f (x), g(x) P x, d(x) = (f (x), g(x)d(x) ) 1, 则存在唯一的 u(x), v(x) P x 使得且 ( f (x) )d(x) 1,( g(x)u(x)f (x) + v(x)g(x) = d(x),d(x)2. (20分 ) 计算 n阶行列式 :这里 (u(x) ( g(x) ), (v(x) ( f (x) ).d(x)2 n2 n1 D11a1a2a1n = 2 a1 a1 +2 2 Sa1S a2a2 an2 an1 + , 1 an a2n an2n an1 +nSan这里 S = n ni=1 ai. 3. (20分 ) 己知 A = . (1) 求 A1;(2) 若 AB A = B, 求 BIAB1.864华南理工大学2018年攻读硕士学位研究生入学考试试卷（ 请 在 答 题 纸 上 做 答 ， 试 卷 上 做 答 无 效 ， 试 后 本 卷 必 须 与 答 题 纸 一 同 交 回 ）科 目 名 称 ： 高 等 代 数适 用 专 业 ： 基 础 数 学 , 应用数学, 计算数学, 概率论与数理统计, 运筹学与控制论共 2页1 1 1 11 1 1 11 1 1 11 1 1 1第 1 页4. (20分 ) 己知 A为 m s, B为 m n矩阵 .(1) 证明 ： 矩阵方程 AX = B有解的充分必要条件是 r(A, B) = r(A); (2) 试问 ： 矩阵方程 X A = B有解的充分必要条件是什 么 ？5. (20分 ) 设 A 为 数 域 P 上 的 线 性 空 间 V 的 线 性 变 换 , f (x) P x使 得 f (A ) = 0, f (x) = f1(x)f 2(x) f s(x) 且 f 1(x), f 2(x), ., f s(x) 两 两 互 素 . 令 Vi = (f i(A ) 1(0) , i = 1, 2, ., s. 证明 ： V = V1 V2 Vs.6. (15分 ) 设线性方程组 x1 + x3 = 0, (1) x2 + x4 = 0的解空间为 W , 求 ： 向量 = (2, 3, 4, 5)在 W 上的内射影以及 到 W 的距离 .(注 : 由 分 解 式 V = V1 V , 对 任 意 V 有 = 1 + 2, 1 V1,12 V , 称 1为向量 在子空间 V1上的内射影 .)17. (15分 ) 设 二 次 型 f (x , x , x ) = x + x + x 4x x 4x x +2 2 21 2 3 1 2 3 1 2 1 32ax 2x3通 过 正 交 线 性 替 换 x = P y化 成 标 准 型 f = 3y2 + 3y2 + by2,求 a, b的1 2 3值及正交矩阵 P .8. (20分 ) 设 A为 n n实矩阵 , k为自然数 , 满足 A k = 0, 证明 : An = 0.第 2 页
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