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1 海南大学硕士研究生入学考试 829 高等代数考试大纲 一、考试性质 海南大学硕士研究生入学考试初试科目。 二、考试时间 180 分钟。 三、考试方式与分值 闭卷、笔试。满分 15 0 分。 四、考试内容 第一章 多项式 第一节-第三节：数域、一元多项式、 多项式整除的概念及性质； 第四节：最大公因式，多项式互素的概念及性质，不可约多项式的概念及性质； 第五节：因式分解定理； 第六节：重因式、重根的判别； 第七节-第九节：多项式函数与多项式的根，有理根的求法，艾森斯坦因判别法。 第二章 行列式 第一节-第三节：排列、 行列式的定义； 第四节：行列式的性质； 第五节：行列式的计算； 第六节：行列式按行（列）展开； 第七节：Cramer 法则。 第三章 线性方程组 第一节-第四节： 消元法解线性方程组， 向量组线性相关 （无关） 的概念、 性质及判定定理； 向量组的极大线性无关组的概念、性质，向量组之间秩的大小关系、矩阵的秩； 第五节-第六节： 线性方程组有解的判别定理、 齐次线性方程组有非零解的条件、 基础解系 的计算与性质、齐次线性方程组的通解，非齐次线性方程组的解法和解的结构。 第四章 矩阵 第一节-第三节：矩阵的概念与运算，矩阵乘积的行列式与秩； 第四节-第五节： 逆矩阵概念、 性质、 矩阵可逆的条件， 伴随矩阵及其性质、 求逆矩阵的公 式法， 分块矩阵 （ 包括矩阵乘法的常用分块方法并证明与矩阵相关的问题 ） ， 几种特殊矩阵的性 质（如准对角阵，对称矩阵与反对称矩阵，伴随矩阵、正交矩阵等） ；2 第六节-第七节： 矩阵的初等变换与初等矩阵的关系及其应用 ， 矩阵的等价标准形、 初等变 换法求可逆矩阵的逆矩阵，分块矩阵的初等变换及应用。 第五章 二次型 第一节-第二节： 二次型的概念及二次型的矩阵， 化二次型为标准形和规范形， 矩阵合同的 概念与性质； 第三节：实二次型的规范型、正（负）惯性指数、符号差，惯性定律及应用； 第四节： 正定、 半正定矩阵(二次型)的概念 ， 矩 阵 （ 二次型） 是正定、 半正定矩阵(二次型 ) 的判定定理。 第六章 线性空间 第一节-第二节：线性空间的定义及性质； 第三节-第四节： 线性空间中一个向 量组的秩， 线性空间的基与维 数 ， 基扩充定理 ， 维数公 式，基变换与坐标变换； 第五节-第八节： 子空间的概念、 判定定理、 一组向量的生成子空间， 子空间的交、 和与直 和的概念及相关判定定理，一些常见的子空间。 第七章 线性变换 第一节-第二节：线性变换的定义与运算； 第三节 ：线 性变换与 n 阶矩阵的对 应 定理，线性变 换在不 同基下的 矩阵的关系， 矩 阵相似 的概念及性质； 第四节-第五节： 矩阵的特征多项式及其有关性质， 特征子空间， 求线性变换在给定基下的 矩阵和 特 征值以及特 征向 量的方法 ，线性 无关的 特征向量 的判 别及最大个 数 ，实对称矩阵 的 特 征值和特征向量的性质，线性变换（包括矩阵）可对角化的判定定理； 第六节-第七节： 线性变换的核与值域、 线性变换的零度与秩的概念与相关定理、 不变子空 间。 第八章 欧氏空间 第一节 -第三 节： 内积和欧 氏空间 的定义及 简单性 质。度量 矩阵与 标准正交 基的求 法以及 性质，正交矩阵的概念、性质，有限维欧氏空间同构的概念、判定定理； 第四节-第五节： 线性变换是正交变换的定义及充要条件， 子空间的概念， 子空间正交的概 念与性质，子空间正交、正交补的概念及相关定理； 第六节：实对陈矩阵的概念及性质，对称变换的定义 与性质，对实对称矩阵 A 求正交矩 阵 T使 1 TA T 成对角形（用正交线性替换将实二次型化为平方和） ； 第七节：向量到子空间的距离、最小二乘法。
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