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1 常微分方程考试大纲 课程编号： 10810094 英文课程名称： Ordinary Dif f erential Equation 适用专业： 应用数学、运筹学与控制 一、 课程的性质 和目的 常微分方程 课程是数学、 信息与计算科学专业本科生必修的一门主干课 程。 常微分方程已成为研究自然现象的强有力工具。在力学、天文学、物理 学及工程技术中，应用微分方程的理论和方法，已经取得了巨大的成就 。 常微 分方程 理论知识是理工科学生必备的数学专业基础知识， 它在培养数学及信息 与计算科学的专门人才的过程中具有重要的课程地位； 本课程旨在培养学生的微 分方程的基础知识与方法， 并为运用微分方程解决相关的实际问题打下坚实的理 论基础。 本课程主要任务为： 1 教授求解常微分方程的常用方法； 2 培养学生关于常微分方程的一般理论； 3 培养学生运用常微分方程解决实际 问题的能力，为后继课程的学习打下 坚实的理论基础。 第一章： 绪 论 1 熟练掌握物理过程的数学建模； 2 熟练掌握微分方程的基本概念； 第二章：一阶微分方程的初等解法 1 熟练掌握变量可分离方程及可化为变量可分离方程的求解； 2 熟练掌握线性方程的概念及常数变易法的使用； 3 熟练掌握恰当方程的判定，掌握积分因子的计算； 4 熟练掌握一阶隐方程的求解及参数表示； 第三章：一阶微分方程解的存在定理 1 熟悉、理解解的存在唯一性定理的证明与简单应用； 2 熟悉、理解解的延拓定理的证明与简单应用； 3 理解解对初值的连续性和可微性定理的证明与简单应用； 4 熟悉、理解包络和奇解的概念，会求解可莱罗 (Clairaut) 方程； 第四章：高阶微分方程 1 熟悉齐次线性方程的解的性质与结构 ，熟练掌握非齐次线性方程与常数 变易法； 2 熟练掌握常系数线性方程的解法与应用； 包括： 常系数齐次线性方程和欧拉方程， 非齐次线性方程、 会用比较系数法 与拉普拉斯 ( Laplace ) 变换法求解线性方程； 3 熟练掌握一些可降阶的方程的求解；2 第五章：线性微分方程组 1 理解线性微分方程组存在唯一性定理； 2 理解线性微分方程组的一般理论； 3 理解矩阵指数 expA 的定义和性质，掌握基解矩阵的计算公式； 会应用拉普拉斯变换解线性微分方程组； 第六章： 非 线性微分方程和稳定性 1 会分析线性系统与简单的非线性系统的 平衡点（奇点）及极限环的稳定 性； 2 会按线性近似确定微分方程组的稳定性， L y apunov 第二方法； 参考书 1 常微分方程 （第三版） ，王高雄、周之铭、朱思铭、王寿松编， 高等教育出版社， 2007 年； 2 常微分方程 俄V . I 阿诺尔德著，科学出版社， 2001
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