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共 5 页 第 1 页 中国林业科学研究院 2017 年硕士研究生入学考试 数理统计 （含概率论） 试题 注 ：所有答案一律写在答题纸上，写在试题纸上无效 。 一、填空题（每题 3 分，共 30 分） 1. 设两个相互独立的事件 A 和 B 都不发生的概率为 19 ， A 发 生 B 不发生的概率与 B 发生 A不发生的概率相等，则 ()PA= 。 2. 某人向同一目标独立重复射击，每次射击命中目标的概率为 (0 1)pp，则此人第 4 次射击恰好第 2 次命中目标的概率为 = 。 3. 设随机变量 X 与 Y 相互独立，且分别服从参数为 1 和参数为 4 的指数分布，则 P X Y = 。 4. 将长度为 1m 的木棒随机地截成两段，则两段长度的相关系数为 = 。 5. 设平面区域 D 由曲线 1y x 及直线 20, 1,y x x e 所围成，二维随机变量 ( , )XY 在区域D 上服从均匀分布，则 ( , )XY 关于 X 的边缘概率密度在 2x 处的值 = 。 6. 设随机变量 X 概率分布为 ( 0 , 1 , 2 , )!CP X k kk ，则 2EX = 。 7. 设随机变量的方差为 2，则根据切比 雪夫不等式 估计 | ( ) | 2P X E X 。 8. 设 X 服从正态分布 2( , )N ( 0) ，从该总体中抽取简单随机样本1 2 2, ,., nX X X ( 2)n ，其样本均值 2112 n iiXXn ，求统计量 21 ( 2 )ni n iiY X X X 的数学期望 ()EY = 。 9. 设 ,是两个相互独立且均服从正态分布 21(0,( ) )2N的随机变量，则随机变量 | 的数学期望 (| |)E = 。 10. 设 12,XX为来自正态总体 2( , )N 的样本，若1211999CX X为 的一个无偏估计，则C = 。 共 5 页 第 2 页 二、选择题（每题 3 分，共 30 分） 1. 设 A ， B 为随机事件，且 ( ) 0PB ， ( | ) 1P A B ，则必有 （ A） ( ) ( )P A B P A （ B） ( ) ( )P A B P B （ C） ( ) ( )P A B P A （ D） ( ) ( )P A B P B 2. 设 A ， B ， C 是三个事件，与事件 A 互斥的事件是 （ A） AB AC （ B） ()AB C （ C） ABC （ C） A B C 3. 设随机变量 X 服从正态分布 211( , )N ， Y 服从正态分布 222( , )N ，且 12| | 1 | | 1P X P Y ，则 （ A） 12 （ B） 12 （ C） 12 （ D） 12 4. 设随机变量 (0,1)XN ， (1,4)YN 且相关系数 1XY ，则 （ A） 2 1 1P Y X （ B） 2 1 1P Y X （ C） 2 1 1P Y X （ D） 2 1 1P Y X 5. 设随机变量 X 与 Y 相互独立，且 X 服从标准正态分布 (0,1)N ， Y 的概率分布为 101 2P Y P Y ， 记 ()ZFz为随机变量 Z XY 的分布函数，则函数 ()ZFz的间断点个数为 （ A） 0 （ B） 1 （ C） 2 （ D） 3 6. 设随机变量 X 的分布函数0 01( ) 0 121 2xxF X xex ，则 1PX 为 （ A） 0 （ B） 1 （ C） 112 e （ D） 11e 共 5 页 第 3 页 7. 设 X ， Y 是相互独立的两个随机变量，它们的分布函数为 ()XFx， ()YFy，则 max( , )Z X Y的分布函数是 （ A） ( ) m a x ( ) , ( )Z X YF z F z F z （ B） ( ) m a x | ( ) |, | ( ) |Z X YF z F z F z （ C） ( ) ( ) ( )Z X YF z F z F z （ D）都不是 8. 设 12( , ,., )nX X X 为取自正态总体 2 ( , )XN 的样本，则 22 的矩 法估计量为 （ A） 211 ()n ii XXn （ B） 211 ()1 n ii XXn （ C） 221nii X nX （ D） 211 n ii Xn 9. 设总体 2 ( , )XN ，其中 2 已知，则总体均值 的置信区间的长度 l 与置信度 1 的关系是 （ A）当 1 缩小时， l 缩短 （ B）当 1 缩小时， l 增大 （ C）当 1 缩小时， l 不变 （ D）以上说法均错 10. 在假设 检验中， 0H 表示原假设， 1H 为备选假设，则称为犯第二类错误的是 （ A） 1H 不真，接受 1H （ B） 0H 不真，接受 1H （ C） 0H 不真，接受 0H （ D） 0H 为真，接受 1H 三、 计算题 （ 90 分） 1. 已知甲、乙两箱中装有同种产品，其中甲箱中装有 3 件合格品和 3 件次品，乙箱中仅装有 3 件合格品。从甲箱中任取 3 件产品放入乙箱后，求： （ 1）乙箱中次品件数的数学期望 ； （ 2）从乙箱中任取一件产品是次品的概率。 （ 10 分） 共 5 页 第 4 页 2. 对东北落叶松幼苗胸高直径（ D ）进行测量，其值在 5,6 上服从均匀分布，求胸高断面积（ 24D ）的概率分布。 （ 15 分） 3. 在坡度为 0 的样地中两株目标树的直线距离为 l ，在这两株树连线的线段上任选两点，求两点间距离的数学期望和方差。 （ 15 分） 4. 设随机变量 X 服从正态分布 ( ,8)XN ， 未知。现有 10 个观察值，已知 1500x （ 1）求 的置信度为 0.95 的置信区间（ 注： 0.025 1.96u ）； （ 2）要使 的置信度为 0.95 的置信区间长度不超过 1，观察值个数 n 最少取多少 ？ （ 3）如果 64n ，那么区间（ 1, 1xx）作为 的置信区间时，置信度为多少 ？ （ 注：0.0113 2.8285u ） （ 15 分） 5 某研究人员为了比较 4 种不同肥料对农作物收获量的影响，于是选择土壤肥力比较均一土地进行试验。每一种肥料重复 4 次， 4 种肥料共 16 个小区，不同肥料的处理随机排列。取得的试验结果如下表 1 所示。试分析肥料对该农作物的收 获量是否有显著影响？如果没有显著影响，是否能断定 4 种肥料之间对作物收获量的影响均不显著呢？（注： 0.01(3,12) 5.95F ）（ 15 分） 表 1 不同肥料对作物收获量影响试验结果 肥料种类 1 2 3 4 A 98 96 91 66 B 60 69 50 35 C 79 64 81 70 D 90 70 79 88 共 5 页 第 5 页 6 7 个落叶松的固定样地对应的郁闭度（ x ）和林木株数（ y ）见 表 2。 表 2 落叶松 各 固定样地对应的郁闭度和林木株数 观测值 郁闭度 x 0.10 0.30 0.40 0.55 0.70 0.80 0.95 林木株数 y 15 18 19 21 22.6 23.8 26 设对于给定的 x ， y 为正态变量，且方差与 x 无关（ 注： 0.025 (5) 2.5706t ）。 （ 1）求线性回归方程 y a bx ； （ 2）检验假设 01: 0, : 0H b H b； （ 3）若回归效果显著，求 b 的置信度为 0.95 的置信区间； （ 4）求 0.50x 处的置信度为 0.95 的预测区间。（ 20 分）
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