2010年中科院数学分析与高等代数试题.pdf

sobenleegmail.com 1 中国科学院研究生院2010年数学分析试题1. (20分)计算：(1) limx0 sin2 x0ln(1 + t)dt1 + x4 1；(2)|x|+|y|61|xy|dxdy2. (20分)(1)令f(x) =x2 sin 1x，x = 0；0，x = 0求f(0)，并证明f(x)在x = 0处不连续(2)若 =nk=11k，证明e n + 13. (20分)若f(x)在0;1上连续，在(0;1)上二次可微，并且f(0) = f(14)= 0，以及 114f(y)dy = 34f(1)证明，存在 (0;1)，使得f( ) = 04. (15分)求级数n=1n(n + 1)!的和5. (15分)证明：2n3n 0)所围成的区域7. (15分)应用Green公式计算积分I =ILex(xsinyycosy)dx + ex(xcosy + ysiny)dyx2 + y2，其中L是包围原点的简单光滑闭曲线，逆时针方向8. (10分)设f(x)定义在(;)上，且在x = 0连续，并且对所有x;y (;)，有f(x + y) = f(x) + f(y)证明，f(x)在(;)上连续，且f(x) = f(1)x9. (10分)证明 10dxxx =n=11nn10. (10分)设函数f(x)在0;1上连续且f(x) 0，讨论函数g(y) = 10yf(x)x2 + y2 dx在(;)上的连续性Wir m ussen wissen. Wir werden wissen.2 sobenleegmail.com中国科学院研究生院2010年高等代数试题1.设A;B分别是nm和mn矩阵，Ik是k阶单位矩阵(1) (10分)证明det(In AB) = det(Im BA)；(2) (10分)计算行列式Dn = det1 + a1 + x1 a1 + x2 a1 + xna2 + x1 1 + a2 + x2 a2 + xn. . . .an + x1 an + x2 1 + an + xn2. (20分)已知3阶正交矩阵A的行列式为1证明，A的特征多项式一定为f( ) = 3 a 2 + a 1，其中，a是实数，且1 6 a 6 33. (1) (12分)设A;B是n阶方阵，A可逆，B幂零，AB = BA证明，A + B可逆；(2) (8分)试举例说明上述问题中A;B可交换的条件不能去掉4. (20分)证明，任意n阶实方阵A的特征向量也是其伴随矩阵A的特征向量5. (1) (20分) n阶方阵A能表示成：A = H + K，其中H = HT，K = KT，BT是矩阵B的共轭转置设a;h;k代表A;H;K中元素的最大模若z = x+iy (x;y分别是实部和虚部)是A的任一特征值，试证明|z|6 na，|x|6 nh，|y|6 nk；(2) (5分)证明，Hermite矩阵的特征值都是实数；(3) (5分)证明，反对称矩阵的特征值都是纯虚数6. (15分)设A是n维实线性空间V的线性变换，n 1证明，A至少有一个维数为1或2的不变子空间7.设n阶循环矩阵C为c0 c1 cn1cn1 c0 cn2. . . .c1 c2 c0(1) (12分)求C的所有特征值以及相应的特征向量；(2) (8分)求C的行列式detC8. (15分)设Mn(C)是复数域上所有n阶方阵构成的线性空间，T : Mn(C) C是一个线性映射，满足T(AB) = T(BA)证明，存在 C，使得对任意A Mn(C)，T(A) = TrA，其中，TrA表示矩阵A的迹Wir m ussen wissen. Wir werden wissen.