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3163.putiansongcom-1-中 国 科学 院 研 究生 院 中 国 科学 院 研 究生 院 中 国 科学 院 研 究生 院 中 国 科学 院 研 究生 院2011年 招 收攻 读 硕 士研 究 生 学位 研 究 生入 学 统 一考 试 试 题年 招 收攻 读 硕 士研 究 生 学位 研 究 生入 学 统 一考 试 试 题年 招 收攻 读 硕 士研 究 生 学位 研 究 生入 学 统 一考 试 试 题年 招 收攻 读 硕 士研 究 生 学位 研 究 生入 学 统 一考 试 试 题试 题 名称 ： 量 子力 学 试 题 名称 ： 量 子力 学 试 题 名称 ： 量 子力 学 试 题 名称 ： 量 子力 学第一题：选择和简答 第一题：选择和简答 第一题：选择和简答 第一题：选择和简答 ( )5 840=1.氢 原 子 的 基 态 电 离 能 是 13.6ev， 问 处 于 第 一 激 发 态 的 氢 原 子 电 离 能 是 （3.4ev）2.普朗 克常数 h等于 （ 346.62610Js ）3.已知 AB、均是 厄密算 符，问 下面哪 个 F是厄 密算符 （ ( )2iF BAAB= ）4.对于 中心势 场，下 列正确 的是（ 2 20 () 1Rrrdr = ）5.经典 力学中 有 Lr p pr= ， 那么 在量子 力学中 是否也 有 Lr p pr= 成立 ，并说 明理由 .6.写出 在 2(, )zss的共 同的本 征态中 ， 写出 ,x yss的矩 阵表示 ， 并说 明是否 可以找到 这样一 个表象 ， 使得 , ,x y zsss在该 表象中 的矩阵 表示均 为实矩 阵 ， 并说 明理由 .7.写出 氢原子 、一维 简谐振 子、一 维无限 深势阱 的能级 ，并用 示意图 表示 .8.两 个 非 全 同 粒 子 处 于 态1 2(, )xx ， 求 出 一 个 粒 子 处 于 1 1, “pp之 间 ， 另 一 个粒子 处于2 2, “xx之间 的几率 .二、 (30)在三 维体系 中粒子 的径向 动量算 符 1 2r r rp ppr r = + ，则：（ 1） rp是否 为厄密 算符， 为什么 ？（ 2）写 出在球 坐标系 中 rp的表 示；（ 3）求 , ?rrp=三、 (30)质量 为的 m粒子 在半径 为 R的圆 周上作 自由运 动：3163.putiansongcom-2-（ 1）求 其能级 和本征 函数；（ 2）加12, 0 () , 00,VHV V 时 刻撤 去微扰 后体系 处于前 三个激 发态的 概率。五、 (20)在 2 ( , )zLL共同 本征态 20Y中， xL的可 能值及 相应的 概率。中 国 科学 院 研 究生 院 中 国 科学 院 研 究生 院 中 国 科学 院 研 究生 院 中 国 科学 院 研 究生 院2010年 招 收攻 读 硕 士研 究 生 学位 研 究 生入 学 统 一考 试 试 题年 招 收攻 读 硕 士研 究 生 学位 研 究 生入 学 统 一考 试 试 题年 招 收攻 读 硕 士研 究 生 学位 研 究 生入 学 统 一考 试 试 题年 招 收攻 读 硕 士研 究 生 学位 研 究 生入 学 统 一考 试 试 题 试 题 名称 ： 量 子力 学 （ 试 题 名称 ： 量 子力 学 （ 试 题 名称 ： 量 子力 学 （ 试 题 名称 ： 量 子力 学 （ 811） ） ） ）一 一 一 一 、 、 、 、 （ 1）设 AB、与泡 利算符 对易， 证明： ( )( ) ( )A BABi AB = + （ 2）试 将 ( )12 x yI i+ 表示 成 x y zI 、的线 性叠加 ， I为单 位算符 。二 、 设一 维线性 谐振子 的初态 为 ( ) () ()0 1,0cos sin2 2x x x = + ， 即基 态与第 一激发 态的叠 加，其 中 为实 数：（ 1）求 t时刻 的波函 数 (,)xt ;（ 2）求 t时刻 粒子处 于基态 及第一 激发态 的概率 ;（ 3）求 t时刻 粒子的 势能算 符 221 2V mx= 的平 均值；（ 4）求 演化成 (,)xt 所需 要的最 短时间m int 。三、 设基态 氢原子 处于弱 电场中 ，微扰 哈密顿 量是：3163.putiansongcom-3- 0, 0; , 0.tT tH ze t = 其中 T、为常 数。（ 1） 求很 长时间 后t T电子 跃迁到 激发态 的概率 ， 已知 基态中 a为玻 尔半径， 基态和 激发态 波函数 为：() () ( )() () ( )10 10 0 322210 21 10 3212, ;43 1, cos .4 3(2)rarar RrY ea rr RrY eaa = = =（ 2） 基态 电子跃 迁到下 列哪个 激发态 的概率 等于零 ？简述 理由。（ a）20 （ b） 21 （ c） 211 （ d） 210四、 两种质 量为 m的粒 子处于 一个边 长为 abc的不 可穿透 的长盒 子中 ， 求下列 条件下 该体系 能量最 低态的 波函数 （只写 出空间 部分） 及对应 能量。 （ 1）非 全同粒 子；（ 2）零 自旋全 同粒子 ；（ 3）自 旋为 12的全 同粒子 。五、 粒子在 一维无 限深势 阱中运 动，该 体系受 到 ( )H xa= 的微 扰作用 ：（ 1）利 用微扰 理论， 求第 n能级 精确至 二级的 近似表 达式；（ 2）指 出所得 结果的 适用条 件。 中 国 科学 院 研 究生 院 中 国 科学 院 研 究生 院 中 国 科学 院 研 究生 院 中 国 科学 院 研 究生 院2009年 招 收攻 读 硕 士研 究 生 学位 研 究 生入 学 统 一考 试 试 题年 招 收攻 读 硕 士研 究 生 学位 研 究 生入 学 统 一考 试 试 题年 招 收攻 读 硕 士研 究 生 学位 研 究 生入 学 统 一考 试 试 题年 招 收攻 读 硕 士研 究 生 学位 研 究 生入 学 统 一考 试 试 题 试 题 名称 ： 量 子力 学 （ 试 题 名称 ： 量 子力 学 （ 试 题 名称 ： 量 子力 学 （ 试 题 名称 ： 量 子力 学 （ 811） ） ） ）一、 已知在 的 2 ( )zLL、表象 中， 010 1012010xL = 求：（ 1） 求 xL的本 征值和 相应的 本征函 数；3163.putiansongcom-4-（ 2） 求 yL的矩 阵表示 。二、 已知一 粒子处 在一维 谐振子 势场中 运动， 势能为 ( )21() 02Vx kxk= ，求 ：（ 1） 粒子 的基态 本征函 数 0()x；（ 2） 若势 场突然 变为2()Vx kx= ，则 粒子仍 处于基 态的概 率。（提 示：用 湮灭算 符4 , 21.414, 21.1892 ia x p = + = = ） 。三、 若已知 , , 0, ,i j i j i j ijaa aa aa = = = ，其 中 , 1,2ij= 。设 ( ) ( ) ( ) 12 21 12 21 22 111 1 , ,2 2 2x y ziJ aaaaJ aaaaJ aaaa= + = = 。求 :(1) , ,x y zJJJ的关 系式；(2)2 2 2 2 x y zJ J J J=+ ，试 用 1 1 2 2 aaaa、表示 。四 、 已知 中微子 的两种 本征态 为1v和 2v， 能量 本征值 为 24imcEpcpc= + （ 其中1,2i= ） ， 电子 中微 子的 本征 态1 2cos sinev v v = + 为 ， 子 中微 子的 本征 态为1 2sin cosv v v = + ， 其中 是混 合角 。 某体 系中在 0t=时 ， 电子 中微子处于 态ev，求 ：（ 1） t时刻 中微子 所处的 状态；（ 2） t时刻 电子中 微子处 于基态 的概率 。五、 设在氘 核中， 质子和 中子的 作用表 示成0() raVr Ve= ，试 用 2rae= （ 为变数 ）为试 探波函 数，用 变分法 求：（ 1） 基态 能量的 近似值 ；（ 2） 若0 32.7V Mev= ， 2.16a fm= ，试 确定 的值 。中 国 科学 院 研 究生 院 中 国 科学 院 研 究生 院 中 国 科学 院 研 究生 院 中 国 科学 院 研 究生 院2008年 招 收攻 读 硕 士研 究 生 学位 研 究 生入 学 统 一考 试 试 题年 招 收攻 读 硕 士研 究 生 学位 研 究 生入 学 统 一考 试 试 题年 招 收攻 读 硕 士研 究 生 学位 研 究 生入 学 统 一考 试 试 题年 招 收攻 读 硕 士研 究 生 学位 研 究 生入 学 统 一考 试 试 题 试 题 名称 ： 量 子力 学 试 题 名称 ： 量 子力 学 试 题 名称 ： 量 子力 学 试 题 名称 ： 量 子力 学 A卷 卷 卷 卷3163.putiansongcom-5-一 、 写出 氢原子 的束缚 态能级 ， 所有 的量子 数以及 取值范 围 ， 求出 其简并 度 。二 、 一个 粒子质 量为 ， 在一 势能环 中运动 ， 势能 为00, 0,V other = 时电 子自旋 沿 , ,xyz+方向 的概率 。三 、 粒 子 在 0(),() ,Vx xaVx x a 势 场 中 运 动 ( )0 0V。 试 求 系 统 能 级 或 能 级 方程。四 、设 系统 哈密 顿算 符为 2 ()2pH Vrm= +， 粒子 处于 归一 化的 束缚 定态 n中 ，3163.putiansongcom-7-试证 明位力 定理： 2 1 ()2 2n n n np r Vrm = 五 、 一维 谐振子 系统哈 密顿量 为 2220 1 2 2pH mxm = + ， 设受 到微扰 4 xH p= 的作用， 试求对 第 n个谐 振子能 级的一 级微扰 修正。（已 知矩阵 元 , 1 , 1 ( 1 )2 nn nnnxn n nm + = + + ）中 国 科学 院 研 究生 院 中 国 科学 院 研 究生 院 中 国 科学 院 研 究生 院 中 国 科学 院 研 究生 院2006招 收 攻读 硕 士 研究 生 学 位研 究 生 入学 统 一 考试 试 题招 收 攻读 硕 士 研究 生 学 位研 究 生 入学 统 一 考试 试 题招 收 攻读 硕 士 研究 生 学 位研 究 生 入学 统 一 考试 试 题招 收 攻读 硕 士 研究 生 学 位研 究 生 入学 统 一 考试 试 题 试 题 名称 ： 量 子力 学 （ 甲） 试 题 名称 ： 量 子力 学 （ 甲） 试 题 名称 ： 量 子力 学 （ 甲） 试 题 名称 ： 量 子力 学 （ 甲） A卷 卷 卷 卷一、 两个线 性算符 A和 B满足 下列关 系： 2 0A=， 1A AA+ =， BAA= 。（ 1）求 证： 2 BB=；（ 2）求 在 B表象 中 A和 B的表 达式。二 、粒 子在 势场 () ( , 0)nVx Ax x A= 中 运动 ，试 用不 确定 关系 估算 基态能 量。 三、 设体系 的哈密 顿量 H依赖 于某一 参量 ，又 设体系 处于某 束缚定 态，其能量 和本征 函数分 别记为 nE和 ()nr：（ 1）证 明费曼 -海尔 曼定理 ：* () ()n n nE Hr rdr = ；（ 2） 利用 费曼 -海尔 曼定理 ， 求氢 原子各 束缚态 的平均 动能 （ 提示 ： 氢原 子能级 公式为 42 212n eE n= ）四 、 粒 子 在 二 维 无 限 深 方 势 阱 中 运 动 ， 0, 0 ,0, xa yaV other时粒 子的状 态波函 数；（ 2）在 0t=与 0t时在 势阱的 左半部 发现粒 子的概 率是多 少。四、 粒子在 一维无 限深方 势阱中 运动， 受到微 扰 0 ( 2 )VH a xaa= 的作 用 ， 求第 n个能 级的一 级近似 ，并分 析所得 结果的 适用条 件。五 、 一个 质量 m为的 粒子被 限制在 r a=和 r b=的两 个不可 穿透的 同心球 面之间运 动，不 存在其 他势， 求粒子 的基态 能量和 归一化 波函数 。 中 国 科学 院 研 究生 院 中 国 科学 院 研 究生 院 中 国 科学 院 研 究生 院 中 国 科学 院 研 究生 院2006招 收 攻读 硕 士 研究 生 学 位研 究 生 入学 统 一 考试 试 题招 收 攻读 硕 士 研究 生 学 位研 究 生 入学 统 一 考试 试 题招 收 攻读 硕 士 研究 生 学 位研 究 生 入学 统 一 考试 试 题招 收 攻读 硕 士 研究 生 学 位研 究 生 入学 统 一 考试 试 题 试 题 名称 ： 量 子力 学 （ 乙） 试 题 名称 ： 量 子力 学 （ 乙） 试 题 名称 ： 量 子力 学 （ 乙） 试 题 名称 ： 量 子力 学 （ 乙） A卷 卷 卷 卷3163.putiansongcom-9-一、 粒子以 能量 E入射 一维方 势垒 0 0, 0() 0, 0 ,V xaVx xxa = 。设 能量 0EV， 求透射 系数 T。二 、 自旋 为 12的粒 子置于 势场 ()Vx中 ， 0, 0() , 0,xaVx x xa= 。 设粒 子所处 状态为3 51 15 2(, ) () ()18 9zxs x xi i = + ， 其 中 ()nx 为 系 统 空 间 部 分 的 第 n个 能 量本征 函数（ 已归一 化 ） 。求 能量的 可测值 及相应 的取值 概率。三、 用不确 定度关 系估算 一维谐 振子的 基态能 量。 四、 各向同 性的三 维谐振 子哈密 顿算符 为 2(0) 2 221 2 2H mrm = + ，加 上微扰()1 ( )H xyyzzx= + 后， 求第一 激发态 的一级 能量修 正。五、 自旋为 12，磁 矩为 ，电 荷为零 的粒子 置于磁 场中。 0t=时磁 场为0 0(0,0, )B B= ， 粒子 处于 z的本 征值为 1的本 征态 01。 设在 0t时 ， 再加 上弱磁场1 1( ,0,0)BB= ，求 0t时的 波函数 以及测 到自旋 反转的 概率。 中 国 科学 院 研 究生 院 中 国 科学 院 研 究生 院 中 国 科学 院 研 究生 院 中 国 科学 院 研 究生 院2006招 收 攻读 硕 士 研究 生 学 位研 究 生 入学 统 一 考试 试 题招 收 攻读 硕 士 研究 生 学 位研 究 生 入学 统 一 考试 试 题招 收 攻读 硕 士 研究 生 学 位研 究 生 入学 统 一 考试 试 题招 收 攻读 硕 士 研究 生 学 位研 究 生 入学 统 一 考试 试 题 试 题 名称 ： 量 子力 学 （ 乙） 试 题 名称 ： 量 子力 学 （ 乙） 试 题 名称 ： 量 子力 学 （ 乙） 试 题 名称 ： 量 子力 学 （ 乙） B一、 粒子以 能量 E入射 一维方 势垒 0 0, 0() 0, 0 ,V xaVx xxa = 。设 能量 0EV时的以 下量：3163.putiansongcom-10-（ 1）概 率密度 2(,)xt ；（ 2）能 量的可 能取值 及相应 的概率 。三、 设氢原 子所处 状态为 21 121 101 () (, )2(, , , ) 3 () (, )2z RrYr s RrY = ，（ 1）求 轨道角 动量 z分量 zL和自 旋角动 量 z分量 zs的平 均值；（ 2）求 总磁矩 2e eM L S = 的 z分量 的平均 值。四、 对于一 维谐振 子的基 态，求 坐标和 动量的 不确定 度的乘 积 xp。五 、 两个 自旋为 12非全 同粒子 ， 自旋 间相互 作用为 1 2 HJSS= ， 其中 1S和 2S分别为 粒子 1和粒 子 2的自 旋算符 。 设 0t=时粒 子 1的自 旋沿 z轴正 方向 ， 粒子 2自旋 沿 z轴负 方向。 求 0t时， 测到粒 子 2的自 旋仍处 于 z轴负 向的概 率。中 国 科学 院 中 国 科学 院 中 国 科学 院 中 国 科学 院 -中 国 科技 大 学 中 国 科技 大 学 中 国 科技 大 学 中 国 科技 大 学2005年 招 收攻 读 硕 士研 究 生 学位 研 究 生入 学 考 试试 题年 招 收攻 读 硕 士研 究 生 学位 研 究 生入 学 考 试试 题年 招 收攻 读 硕 士研 究 生 学位 研 究 生入 学 考 试试 题年 招 收攻 读 硕 士研 究 生 学位 研 究 生入 学 考 试试 题 试 题 名称 ： 量 子力 学 试 题 名称 ： 量 子力 学 试 题 名称 ： 量 子力 学 试 题 名称 ： 量 子力 学一 、 1800个电 子经 1000伏电 势差加 速后从 x=处射 向势阶 0, 0() 0, 0VxVx x 其中0 750V eV= 。试 问在 x=处能 观察到 多少个 电子？如果 势阶翻 转一下 ，即电 子射向 势阶00, 0() , 0xVx Vx 则结 果如何 ？二 、 质量 为 m、 电荷 为 q的粒 子在三 维各向 同性谐 振子势 221() 2Vr mr= 中运 动 ，同 时受 到一 个沿 x方 向的 均匀 常电 场 0EEi= 作 用。 求粒 子的 能量 本征 值和 第一激 发态的 简并度 。 此时 轨道角 动量是 否守恒 ？如回 答是 ， 则请 写出此 守恒力学 量的表 达式。
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