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科目名称：理论力学 第 1 页，共 3 页 中国科 学院 大学 2013 年招 收攻 读硕士 学位研 究生入 学统一 考试试 题 科目名 称：理 论力学 考 生须 知： 1本试卷满分为 150 分，全部考试时间总计 180 分钟。 2所有答案必须写在答题纸上，写在试题纸上或草稿纸上一律无效。 一 、（ 共 25 分） 利用飞机的抛物线运动提供微重力 （低重力） 环境是一种重要的 实验手段， 如图 1 所示。 该实验中， 飞机先作俯冲飞行， 然后爬升至倾斜 45左 右(C 点) 关闭发动机，而后作抛物线飞行以提供微重力的实验环境。假设在一次 抛物线过程中， 地面雷达测得飞机上抛及下落经过水平线 A 和 B 的时 差分别为 A T 和 B T ，水平线 A 和 B 的 高度差为 h。飞行过程中可忽略空气阻力。 1. 阐述达朗贝尔(d Alembert) 原理。 2. 以作抛物线飞行的飞机为参考系，运用动静法，分析飞机上实验装置的 受力情况。 3. 证明重力加速度的大小可以表示为： ( ) 22 AB 8/ g hT T = 。 图 1 二、 （共 25 分） 如图 2 所示， 离心调节器由四根长度均为 l 的不计质量的细杆组 成的菱形、 两个质量均为 m 的惯性小球和一个质量为 M 的质点构成。 菱形 ABCD 的顶点 A 固定在铅直轴上，B 和 D 点是两个质 量均为 m 的惯性小球，C 点是质 量为 M 的质点且可沿铅直轴上下运动，整个系统以匀角速度 绕铅 直轴转动。 科目名称：理论力学 第 2 页，共 3 页 1. 阐述虚功原理。 2. 求动平衡时 角的大小。 图 2 三、 （共 25 分） 在神舟 系列飞船的发射过程中， 依靠火箭喷出燃料气体的推动力 来实现的变速是使得飞船上天的一个关键阶段。 在忽略重力的情况下， 喷气过程 中系统满足动量守恒定律。 假设在 t 时刻， 飞船 的质量为 Mm + ， 速度为 v ； 向 后喷出质量为 m 的燃料气体， 所喷出气体相对于飞船的速度为常数 w ， 在tt + 时刻，飞船速度变为 vv + 。 1. 试建立单位时间内所喷出的燃料质量 / dm dt 与单位时间内飞船速度的变化 / dv dt 之间的关系。 2. 假设在 1 t 时刻，飞船的质 量和速度分别为 1 M 和 1 v ； 在 2 t 时刻，飞船的质量和 速度分别为 2 M 和 2 v ，试 用 w 、 1 M 、 2 M 表示出飞船在这两个时刻的速度变化 21 vv 。 3. 如果起飞时， 飞船的速度为零， 质量为 + MM 船燃料 ， 试写出当燃料用完时飞船 的速度 v 的表达式。 四、 （共 25 分） 质量为 m 的质点置于半径为 R 的光滑固定球面的顶端， 质点因受 小扰动而从球面顶端滑下，如图 4 所示。 1. 给出球面对质点的约束反力。 2. 确定质点脱离球面时的临界角 cr 。 图 4 科目名称：理论力学 第 3 页，共 3 页 五、 （ 共 25 分）两根均 质直杆 1（BC ）和 2（AB ）通过 B 处的铰链 连接并垂直 静止地挂在铰链 C 处， 如图 5 所示。设杆 1，杆 2 的质量分别为 1 m 和 2 m ，长度 分别为 1 l 和 2 l 。在杆 2 下端作用一个水平冲量 I ，求作用后杆 1 的角速度。 图 5 六、 （共 25 分） 原子力显微镜(AFM) ， 作为研 究物质表面结构和性质的重要工具， 已得到广泛的应用。 其基本结构如图 6(a) 所示 ， 由一悬臂梁和悬臂梁末端的微小 针尖组成，在悬臂梁固支端施一周期激励，使其做受迫振动。AFM 的动力学行 为可简化为如图 6(b) 所 示的一有阻尼的简谐振子。 其中， 弹簧的质量 不计， 刚度 系数为 k ，振子的质量为 m ，系统的黏性阻尼系数为 c ，基端的位移激励为 00 cos yA t = 。 1. 试写出简谐振子的运动微分方程。 2. 求出该受迫振动的振幅和相角，并指出当激振频率为何值时，振幅最大。 3. 在周期激励下，该系统会出现稳态振动，试分析说明原因。 图 6
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