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中国科 学院 大学 2013 年招收 攻 读硕士 学位研 究生入 学考试 试题 科目名 称：概 率论与 数理统 计 考 生须 知： 1本试卷满分为150 分，全部考试时间总计180 分钟。 2所有答案必须写在答题纸上，写在试题纸上或草稿纸上一律无效。 一、 （10 分）假定通过验血可以诊断某种疾病，验血结果只有两种：阴性或阳性。 已知当结果显示为阳性时，的确患有该种疾病的概率为 0.95，而显示为阴性时， 患有该种疾病的概率为0.02.有一个病人到某诊所看病， 他告诉医生他感觉不舒服， 医生为他做 了检查 并验 了血，在看 到验血 结果 之前，医生 认为他 患病 的可能性为 0.3，问在看到验血结果为阳性时该医生应如何修改他先前的判断？ 二 、（ 10 分 ）有 5 个家庭， 每家有6 个孩子， 问至少有3 家育有4 个或更多个女孩 子的概率是 多少？ （假 定每家的任 一个孩 子的 性别与其他 孩子的 性别 相互独立而 且是女孩的概率为 1 2 ） 三、 （共 30 分，每小题 15 分）设一家超市买入数量为B 的某种商品，这种商品的 需求量是随机的， 用Y表示 （Y取非负整数值） 。 又假设每卖出一件这种商品， 超市 盈利s元，而贮存一件所需费用为t 元。 （a）试证：当Y取值为y 时，超市在这种商品上的损失函数为： L(y, B) = sy + t(B y), y B sB, y （b） 假设Y的分布为P(Y = y) = p y （已 知） ， 试求使超市获得平均最大盈利的B 值。 四、 （共30 分，每小题10 分）设R 的分布密度为 f( ) = 2 ， 0 1 3 . 五 、（ 10 分） 设有一个均匀的骰子和若干均匀硬币。 掷一次骰子， 然后按照投掷的 点数再抛掷相同数目 的 硬币，以Y 记这些硬币中 出现正面的个数。 试求Y 的概率分 布。 六、 （共20 分，每小题10 分）设X 与Y有如下联合密度函数： f(x, y) = 2x + 2y 4xy , 0 x 1, 0 y 1, 0 , 其他. (a)试求X 与Y的边际分布密度； (b)试求给定X = 1 4 时Y的条件密度f Y (y|X = 1 4 ) 。 七 、（ 20 分）考虑一个容量为n 的样本：X 1 ，X 2 ， , X n ，它们共同的分布为 f(x; , ) = e ( x ) , x , 0, 其他. 试求 及 的极大似然估计（其中 0 ） 。 八、 （共20 分， 每小题 10 分） 某学院一年级学生共100 人， 期中考试的平均成绩 为 0 。期末考试后，教员在统计成绩之前预测学生的平均成绩有所提高。 （a） 设计一个检验， 以 便考查期末考试的平均成绩是否高于 0 （检验水 平为5%）； （b）试求期末考试平均成绩的置信区间（置信水平为95%） 。 科目名称：概率论与数理统计 第2 页共2 页
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