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浙 江 理 工 大 学 2018 年硕士研究 生招生考试初试 试题 考 试科 目： 高等 代数 代码：912 （请考 生在答题纸上答题 ，在此试题纸上答 题无效） 一（10 分 ）： 计算 n （n1 ）阶行 列式 1 2 n n a+x a a a a+x a D= a a a+x L L MM M L二（15 分） ： 判 断下 列向 量 组的线 性相 关性 ， 再求一 极大无 关组 并把 其余 向量 用极大 无关 组表 示 出来： 1 (1, 2, 3, 0) = ， 2 ( 1, 2, 0,3) = ， 3 (2, 4, 6, 0) = 45 (1, 2, 1, 0) , (0, 0,1,1) = = 三（15 分） ：证明 ：数 域K 上n 元列 空间 1 n K 的 任何 子空 间 都是 某个 齐次 线性 方程 组 的解空间。 四（15 分） ：设 ( ) ij Aa = ， ( ) ij Bb = 都是 n 阶方阵. 定 义： ( ) ij ij A B ab = o . 证明： （1）若 , AB 都是半 正定 的，则 AB o 也 是半 正定 的； （2）若 , AB 都是正 定的 ，则 AB o 也是正 定的 。 五（15 分） ：设 ( ) , fg d = .证明 ：对任 意 正整 数 n 有 ( ) 11 , , , nn n n n ffg f g g d = L . 六（15 分） ：在 欧式 空间 4 R （ 内 积如 常） ，设 W 为 12 34 124 12 34 23 0 322 0 39 0 xx xx xxx xx xx += += += 的解空 间， 求 ? W = 。 第 1 页，共 2 页 七（20 分） ：设 K 上 三维空 间V 的线性 变换T 在基 123 , 下矩 阵为 1 22 2 24 24 2 A = （1） 求每个 特征 子空 间的 一基 ； （2） 问T 可 否对 角化 ？若 可以 ，求 出 相应 的基 和过 度矩阵C。 八（15 分） ：求 下列 方阵 的若尔 当标 准型 ： 308 3 16 20 5 九（15 分） ：设A，B 为两个 n 阶方 阵。证 明： 若A，B 中有 一个 可逆 ，则 AB 与BA 相似 ； 若A 与B 相似 ，方 阵C 与D 相似 ，则 分块 矩阵 AO BO = OC OD 也 相似。 十（15 分） ：设 1n L ， 为数域K 上n 维空间 V 的一 基， 而 1m L ， ， 是 V 的 m 个向 量且 11 mn =A MM （A=( ij a )为m n 矩阵） 。 证明：L( 1m L ， ， )的维 数=A 的秩 第 2 页，共 2 页
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