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辽宁师范大学硕士研究生入学考试高等数学考试大纲 2018 年 8 月 25 日修订注意：本大纲为参考性考试大纲，是考生需要掌握的基本内容。一、考试科目设立目的高等数学是理科最基本的数学基础课。本科目是对学生抽象思维、逻辑思维和运算能力的基本测试，是对学生综合运用所学知识分析和解决实际问题能力的基本检验。要求考生掌握“高等数学”中的函数与极限、导数与微分、微分中值定理与导数、不定积分、定积分、多元函数微分法、重积分、曲线积分与曲面积分、无穷级数等基本概念、基本理论和基本方法；掌握部分概念的几何意义或与某类问题间的联系，并运用基本概念和相关理论方法解决实际问题；掌握基本概念和基本理论间的内在联系，能进行正确推理证明和准确计算。二、 考察主要知识点(一) 、函数与极限1映射与函数：掌握映射，逆映射，复合映射，函数，反函数和复合函数的定义；掌握函数的有界性，单调性，奇偶性和周期性的定义；掌握初等函数的定义；掌握幂函数，指数函数，对数函数和三角函数的定义。2掌握数列极限的定义；掌握数列极限的唯一性，有界性和保号性。3掌握函数极限的定义：自变量趋于有限值时函数的极限和单侧极限（左极限，右极限），自变量趋于无穷大时函数的极限。掌握函数极限的唯一性，局部有界性和局部保号性。4无穷小与无穷大的定义及两者间的联系。5极限运算：准确计算有限个无穷小的和、有界函数与无穷小的乘积；能应用复合函数的极限运算法则进行极限运算。6能应用夹逼准则和“单调有界数列必有极限”两个极限存在准则求数列极限。7两个重要极限：对于一个具体的极限，能识别该极限的计算是否可以转化为某个重要极限的计算。若可以，准确计算这个具体极限的值。8无穷小的比较：能应用等价无穷小间的替换进行极限计算。9函数的连续性与间断性：能判断函数在一点是否连续（左连续，右连续），能判断函数在一个区间上是否连续。若函数在一点不连续，能判断是第一类间断点还是第二类间断点。具体的，能判断是否是无穷间断点，振荡间断点，可去间断点或跳跃间断点。10掌握连续函数的和、差、积、商的连续性；反函数与复合函数的连续性；初等函数的连续性。11闭区间上连续函数的性质：有界性与最大值最小值定理，零点定理与介值定理。(二) 、导数与微分1掌握导数的定义（含单侧导数）及几何意义，函数可导性与连续性的关系。2掌握函数的求导法则：函数的和、差、积、商的求导法则，反函数的求导法则，复合函数的求导法则；掌握常数和基本初等函数的导数公式。3高阶导数的定义及莱布尼茨公式。4隐函数及由参数方程所确定的函数的导数。5函数的微分及几何意义。基本初等函数的微分公式与微分运算法则。(三 )、微分中值定理与导数的应用1微分中值定理：罗尔定理，拉格朗日中值定理，柯西中值定理。2洛必达法则。3泰勒公式。4函数的单调性与曲线的凹凸性。5函数的极值与最大值最小值：函数在一点取得极值的必要条件，第一充分条件和第二充分条件。准确计算一个连续函数在闭区间上的最大值和最小值。(四 )、不定积分1不定积分的概念与性质，基本积分表。2换元积分法：第一类换元法与第二类换元法。3分部积分法。4有理函数的积分。(五) 、定积分1定积分的定义和性质，定积分与曲边梯形的面积间的联系。2微积分基本公式。3定积分的换元法和分部积分法。(六 )、定积分的应用1定积分的元素法。2定积分在几何学上的应用：平面图形的面积，旋转体的体积，平行截面面积为已知的立体的体积，平面曲线的弧长。(七 )、多元函数微分法及其应用1多元函数的基本概念。2偏导数的定义及计算。3全微分的定义。4多元复合函数的求导法则。5隐函数的求导公式：一个方程的情形。6方向导数与梯度。7多元函数的极值及其求法：拉格朗日乘数法。(八) 、重积分1二重积分的概念与性质，二重积分与曲顶柱体的体积间的联系。2利用直角坐标计算二重积分。(九) 、曲线积分与曲面积分1对弧长的曲线积分。2对坐标的曲线积分。3格林公式及其应用，平面上曲线积分与路径无关的条件。4对面积的曲面积分。5对坐标的曲面积分，对坐标的曲面积分的计算方法。(十) 、无穷级数1常数项级数的概念和性质，收敛级数的基本性质。2常数项级数的审敛法：正项级数及其审敛法，交错级数及其审敛法。3幂级数：函数项级数的概念，幂级数及其收敛性，幂级数的运算。4函数展开成幂级数。
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