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1目录I 考查目标 .2II 考试形式和试卷结构 .2III 考查内容 .2IV. 题型示例及参考答案 .32全国硕士研究生入学统一考试高等数学考试大纲I 考查目标目的是科学、公平、有效地测试考生是否具备攻读相关专业硕士所必须的基本素质、一般能力和培养潜能，以利用选拔具有发展潜力的优秀人才入学，为国家的经济建设培养具有较强分析与解决实际问题能力的高层次、应用型、复合型的材料成型专业人才。考试测试考生掌握函数基本概念、基本性质、基本理论的扎实程度，考查考生能熟练运用这些概念与理论分析解决现实生产中与函数有关数学问题的能力.具体来说。要求考生：掌握一元基本初等函数的定义、图像、导数公式、积分公式；会用极限、导数和积分工具和方法来研究一元函数局部有界性、保号性、保不等式性和整体有界性、单调性、凸凹性、最小值、最大值、区间上平均值等全局性质。同时也能所学导数和定积分知识来进行微分方程建模和求解。掌握向量与解析几何的基本概念性质与运算，能用向量和函数表达几何量及相关问题。掌握多元函数微分学的概念性质和运算，熟练进行微分计算及应用，如多元极值问题，几何应用等。熟练掌握重积分，曲线积分与曲面积分的计算及相关问题，如曲面面积，重心，转动惯量等，理解梯度，散度，旋度的概念性质并会简单运算。理解无穷级数收敛发散的概念和性质，掌握级数收敛的基本判别方法，收敛域及和函数的计算，傅里叶级数的相关性质与计算，会用级数解决简单的近似计算问题。II 考试形式和试卷结构、 试卷满分及考试时间试卷满分为 150 分，考试时间 180 分钟。、 答题方式闭卷、笔试。允许使用计算器，但不得使用带有公式和文本存储功能的计算器。、 试卷内容与题型结构填空(6 个空 ，每空 5 分，共 30 分) 简单计算题(4 小题，每题 10 分， 共 40 分)证明与综合计算(4 小题，每题 10 分， 共 40 分)综合应用题(40 分)假如每题分数有变化，变化范围亦不大。III 考查内容1. 集合的概念、运算、邻域的定义；函数的概念、图形、表示法；基本初等函数：幂函数；指数函数；对数函数；三角函数；反三角函数；反函数; 复合函数的概念; 初等函数; 双曲函数和反双曲函数的概念; 函数的有界性、单调性、奇偶性、周期性、函数极限（数列极限）存在性、计算、无穷小阶的比较；函数连续性及闭区间连续函数性质。 32. 导数的定义、左右导数、导数的物理意义和几何意义；函数的可导性与连续性的关系；导数的四则运算法则、反函数的导数、复合函数的求导法则；高阶导数的概念、高阶导数的计算方法、莱布尼茨公式、隐函数求导法；对数求导法；参数方程表示的函数的导数；相关变化率；微分的定义; 函数可微的条件；基本初等函数的微分公式与微分运算法则；微分的几何意义、函数的线性化。3. 罗尔定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理；洛必达法则、泰勒公式函数的单调性、曲线的凹凸性、函数的极值、函数图形的描绘；弧微分的概念、微分三角形、曲率及其计算公式、曲率圆的概念；求近似实根二分法和切线法(牛顿法) 。4. 原函数的概念、不定积分的概念、不定积分的性质；基本积分表；直接积分法：第一换元积分法(凑微分法)；常用凑微分公式；第二换元法；分部积分法；有理函数的积分；可化为有理函数的积分：1三角函数有理式的积分；2简单无理函数的积分。5. 定积分的概念、定积分的近似计算；定积分加法法则、数乘法则、不等式性质、定积分中值定理、牛顿莱布尼兹公式；积分上限的函数及其导数；定积分的换元法积分法和分部积分法；无穷限的广义积分、无界函数的广义积分；无穷限广义积分的审敛法、无界函数的广义积分审敛法、 函数定义及其性质。 6. 定积分的微元法、平面图形的面积、旋转体的体积、平行截面面积为已知的立体的体积、平面曲线弧长的概念、平面曲线的弧长的计算、变力沿直线所作的功、水压力、引力。7. 常微分方程的概念、方程的阶数、线性微分方程、非线性微分方程；微分方程的解（通解、特解）; 微分方程的积分曲线；可分离变量的微分方程、分离变量法、齐次方程；一阶线性微分方程、常数变易法、伯努利方程；可降阶的二阶微分方程；二阶常系数齐次线性微分方程及其解法；二阶常系数非齐次线性微分方程；欧拉方程；常系数线性微分方程组。8.向量的概念，运算性质，数量积、向量积和混合积；平面及其方程；直线及其方程；二次曲线与旋转曲面，柱面与投影曲线。9.多元函数的概念；偏导数、方向导数与梯度、全微分；函数极值及条件极值；曲线的切线与法平面、曲面的切平面与法线。10. 二重积分的概念与性质，直角坐标与极坐标下二重积分的计算、交换积分次序；三重积分在直角坐标、柱面坐标及球面坐标下的计算；曲面的面积、立体体积、转动惯量、重心坐标。11.对弧长的曲线积分的概念性质与计算；对坐标的曲线积分的概念性质与计算、两类曲线积分的联系；格林公式及其应用、平面曲线积分与路径无关、二元函数全微分；对面积的曲面积分概念性质与计算；对坐标的曲面积分概念性质与计算、两类曲面积分的联系；高斯公式及应用，散度概念性质与计算；旋度概念性质与计算。12.无穷级数收敛与发散的概念、收敛的必要条件、收敛级数的性质；正项级数收敛的充分必要条件、比较审敛法及极限形式、比值审敛法、根值审敛法；幂级数收敛半径与收敛区间；幂级数的和函数、函数展开成幂级数；傅里叶级数的概念与性质，狄利赫莱收敛定理；函数的傅里叶级数展开，正弦级数、余弦级数；级数在积分计算中的应用。IV. 题型示例及参考答案一. 填空题（每题 5 分，共 30 分）41. 函数 245sin)3lg()xxf 的定义域为_. 2. 由方程 1lyx所确定的函数 )(fy在点 )1,(M处的切线方程_.3. 设函数 在 处连续，则 _. 0 , )2/arcsin()(txefx a4. 定积分 12)i|(d=_.5.已知向量 ,向量 且两个向量垂直，则 m=_=1,0,1 =1,2,6.全微分. =_.(2+2)二.简单计算题(每小题 10 分，共 40 分)1.求 .cose1ln()1ln(im220xxx2.计算二重积分 2+212223. 求由下列方程 )ln()(yxxy所确定的函数 )(xy的二阶导数.4.求曲面- 上切平面平行于平面 的点。2+22+2=52 =1三.证明与计算题(每题 10 分,共 40 分)1. 证明: 函数 2xy满足关系式 .03y2.将函数 展开为 x 的幂级数形式。()=123+23. 证明当 0x时, .)ln(4. 若 在0, 1上连续, 证明)(f(1) ;)(cossin2/02/0dxfd(2) 由此计算 ,in)(xf .cos1in02dx四. 综合应用题(每题 10 分,共 40 分)1. 设工厂 A 到铁路线的垂直距离为 20km, 垂足为 B. 铁路线上距离 B 为 100km 处有一原料供应站 C, 如图 3-5-4. 现在要在铁路 BC 中间某处 D 修建一个原料中转车站 , 再由车站D 向工厂修一条公路. 如果已知每 km 的铁路运费与公路运费之比为 3:5, 那么, D 应选在何处, 才能使原料供应站 C 运货到工厂 A 所需运费最省?2. 河水以 秒米 /83的体流量流入水库中, 水库形状是长为 4000 米, 顶角为 120的水槽, 问5水深 20 米时, 水面每小时上升几米?水 槽 横 截 面 图水 槽 横 截 面 图3. 在一个石油精炼厂，一个存储罐装 8000L 的汽油，其中包含 100g 的添加剂. 为冬季准备，每升含 2g 添加剂的石油以 40L/min 的速度注入存储罐 . 充分混合的溶液以 45L/min 的速度泵出. 在混合过程开始后 20 分钟罐中的添加剂有多少？4.已知由曲面 以及 所围成的均立体，求其关于坐标原点的转动惯=2+2 =222量，参考答案:一、填空题1. ).3,0(,10,3|xxDf2. )1(2y，即 .2y3. 24. .5. . m=1. 6. (2+2)+(2+2)二、计算题1. 解 先用对数性质化简分子，得原式 ,cose)1ln(im420xx因为当 0x时，有 ,)1ln(4242xcosescoi.所以原式 240lix.12. 解 利用极坐标，原式= 201022=23(221)3. 解 ,)()ln()1(2 yxyxy)l()ln(21)( yxy 2)ln(yx 2)ln()(1yxyx(代入 )6.)ln(2)(13yxyx4. 解 设曲面上点 处切平面挺行于所给平面，则有关系式(0,0,0) 201 =401=201=将 , , 代入曲面方程，解得 ，则所求曲面上的点分别为0=20=40=2 =2和 。(1， 12， 1) (1， 12， 1)三、证明题1. 证 对 2xy求导，得)(21xy ,1222)()1)1(xxy 22)1(xx22)(x2/3)(.13y代入原方程,得 .013y证毕.2. 原式= = = - = , .1(1)(2) 12 11012=02=0(1 12+1)13. 证 设 ,lnxf则 )(f在 ,x上满足拉格朗日定理的条件. 故)(0)(fx),f ,1x从而 )ln(x ),(又由 1,11x,x即 .)ln(14. 证 (1) 设 tx20,xdt2,xt,0t20)(sindxf02sintf20)(costf ;)(cos0df7(2) 设 tx0,xdtxt,0t0)(sindf0)sin()(f ,)(sin0df0iidttftf ,ii0xfdxf.)(sn2)(sn0xdx02co1ico1i d02)(cos1xd.4)artn(sx四、综合应用题1. 解 设 xBD(km), 则 xC10(km), .20xAD铁路每公里运费 ,3k公路每公里 ,5k记那里总运费为 y，则有如下函数关系式:Cky3即 ).10()10(4052 xxky问题归结为： x取何值时目标函数 最小. 求导得 ,3402 令 y得 5(km).由于 .2610)(,8)15(,)( kkyky从而当 BD(km)时，总运费最省.2. 解 设 )(tV表示水库在时刻 t水的体积, 则有 ,340)(2htV上式两边对 求导得 dthdt380280dt米 3/小时,当 h米时, 14.dth米/小时（水面上升之速率） 。3. 解 令 y是在时刻 t罐中的添加剂的总量 . 易知 10)(y. 在时刻 t罐中的溶液的总量tttV584088因此，添加剂流出的速率为tytytVy 5804580溶 液 流 出 的 速 率添加剂流入的速率 8042，得到微分方程tdty4即80580ytt于是，所求通解为 958045804 16016 tCCdteeydt由 1)0(确定 C，得016069， 816，故初值问题的解是 98tty，所以注入开始后 20 分钟时的添加剂总量是58.126021016)20( 98g.4. 解 由题设，所求转动惯量的表达式为0=(2+2+2)选择球面坐标系，得到 = 0=20402022825(122)
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