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第 1 页 共 4 页闽 南 师 范 大 学 2018 年硕士研究生入学考试试题考试科目：高等代数注意事项：1、本卷满分为 150 分，考试时间为 3 小时；2、本卷属试题卷，另有答题纸，答案一律写在答题纸上，写在该试卷或草稿纸上均无效；3、必须用蓝黑钢笔或签字笔答题，其他均无效。一、 选择题（每小题 5 分， 本题有 4 小题共 20 分）1、设 为 阶矩阵，为 阶矩阵，且满足 , AmnnmABI则（ ）（A） （B）(),()r(),()rn（C ） （D）nmAB2、若任意 均可由 中的向量组 线性表Fn12,n示，则 （ ） 。 12,n(A)线性相关 (B)秩等于 (C) 秩小于 (D)以上都不对第 2 页 共 4 页3、在 中，设 ， ，则与 同时3R1(,)2(0,1)12,正交的单位向量是( )。(A) (B) (2,) (,)4(C) (D)1,61,04、在下列二次型中，正惯性指数等于 2，负惯性指数等于 1 的二次型是( )(A) 2223131,fxxx(B) 12(C) 223131323,fxxxx(D) 12二、 填空题（每小题 5 分，本题有 4 小题共 20 分）1、 若 ,则 ， .242()+1xABxAB2、设 是数域 上的 阶方阵 ，若其行列式 ，则FnAc_。3、 设矩阵设 是三阶矩阵，已知 ，A30E， ，则 _。 20AE3034E4、实对称矩阵 A 的特征多项式为 25 +6，则它的正交相似标准形为_。三、 （本题 15 分）第 3 页 共 4 页证明：。1001001nnD 四、 （本题 15 分） 当 取何值时，齐次线性方程组有非零解？ 并求出它的一般123(+)=0,-3()xx解。五、 （本题 20 分）给定 的两组基 和 。4P1234(,),()1234(,0),()求由基 到基 的过渡矩阵 ，并求向1234,1234,A量 在基 下的坐标。(0)六、 （本题 20 分）第 4 页 共 4 页设空间 ，定义变换12ijxVXR:。12()X（1） 证明： 是 的线性变换。 ( 分)V8（2） 求 的值域的维数和一组基。 ( 分)12七、 （本题 20 分）设 ， 。22123131232(,)54fxxtxx,abR（1）请写出该二次型的矩阵； ( 分)8（2） 取什么值时，二次型 正定？ ( 分)t f1八、 （本题 20 分）设 是两个 阶实对称矩阵，且 是正定矩阵。证明：,ABnB存在一 阶实可逆矩阵 使 同时为对角形。TAT与（以下空白）
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