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第 1页 共 2 页科 目 代 码 : 847 请 在 答 题 纸 （ 本 ） 上 做 题 , 在 此 试 卷 或 草 稿 纸 上 做 题 无 效 ！山 东 科 技 大 学 2019 年 全 国 硕 士 学 位 研 究 生 招 生 考 试高 等 代 数 试 卷一 、 证 明 题 （ 10 分 ） 证 明 ： 如 果 ( ( ), ( ) 1,( ( ), ( ) 1f x g x f x h x ， 那 么 ( ( ), ( ) ( ) 1f x g x h x .二 、 计 算 题 （ 10分 ） 计 算 n级 行 列 式 ： 1 22 2 21 22 2 21 21 21 1 1nnn n n nnn n nnx x xx x xD x x xx x x .三 、 证 明 题 （ 10 分 ） 设 是 欧 式 空 间 V 的 一 个 变 换 ,对 任 意 的 V, , 有 , .证 明 : 1. 是 线 性 变 换 ; 2. 是 正 交 变 换 .四 、 证 明 题 （ 10 分 ） 已 知 矩 阵 23A , 32B , 且 202 040 202AB , 证 明 2)()( BrAr .五 、 证 明 题 （ 10 分 ） 设 A为 mn 矩 阵 ,B 为 nm 矩 阵 . 证 明 :.| ABEBAE nmmn 六 、 证 明 题 （ 10 分 ） 判 定 n元 二 次 型 211 221 )()1(),( ni ini in xxnxxxf是 否 正 定 ?七 、 证 明 题 （ 10 分 ） 设 向 量 可 由 向 量 组 r , 21线 性 表 示 , 但 不 能 由 向 量 组121 , r线 性 表 示 . 证 明 : r 不 能 由 向 量 组 121 , r线 性 表 示 .八 、 证 明 题 （ 10 分 ） 设 A , B 为 n阶 实 方 阵 , 已 知 A , B , BA 都 是 正 定 矩 阵 .证 明 : 11 AB 是 正 定 矩 阵 .第 2页 共 2 页科 目 代 码 : 847 请 在 答 题 纸 （ 本 ） 上 做 题 , 在 此 试 卷 或 草 稿 纸 上 做 题 无 效 ！九 、 证 明 题 （ 10 分 ） 设 是 实 数 域 R上 n维 线 性 空 间 V 的 线 性 变 换 , R . 证 明 :1. V 的 子 集 0)( nVW 是 V 的 子 空 间 ; 2. W 为 不 变 子 空 间 .十 、 证 明 题 （ 20 分 ）1. 设 , 是 欧 氏 空 间 (标 准 内 积 ) nR 中 的 单 位 列 向 量 , TA , 且 0 ,证 明 : 是 A的 一 个 特 征 向 量 ;2. 设 nnPDCBA , , 对 nnPX , 令 XDCXABXX )( ,证 明 : 是P n n上 的 线 性 变 换 .十 一 、 综 合 题 （ 20 分 ） 在 nxP 中 ， 多 项 式 ).()().( 111 niii xxxxf ( ni ,2,1 ), 其 中 n ,., 21 是 互 不 相 同 的 数 .1. 证 明 ： nfff , 21是 一 组 基 ;2. 在 1.中 ， 令 n ,., 21 是 全 体 n 次 单 位 根 ， 求 由 基 12 ,1 nxxx到 基nfff ,., 21 的 过 渡 矩 阵 。十 二 、 证 明 题 （ 20 分 ） 设 M 是 n 维 欧 氏 空 间 Rn(所 有 形 如 Tnxxxx ),( 21 ,Tnyyyy ),( 21 的 实 向 量 所 构 成 的 实 线 性 空 间 )的 一 个 非 空 子 集 . M 上 内 积为 iini yxyx 1, . 令 ,0,| MyyxRxM n .1. 证 明 : M 是 nR 的 一 个 子 空 间 ;2. 证 明 : 若 M 为 Rn的 一 个 线 性 子 空 间 , 则 Rn可 表 示 为 M 与 M 的 直 和 . 即 MMRn .
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