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2009200920092009年 年年年硕士研究生入学考试初试 硕士研究生入学考试初试硕士研究生入学考试初试硕士研究生入学考试初试 广西民族大学广西民族大学广西民族大学广西民族大学 自命题科目试题自命题科目试题自命题科目试题自命题科目试题 （试卷代号 ：A卷） 科目 代码 ： 科目 名称 ： 高等代数 适用 学科专业 ： 基础数学 、计算数学 、应用数学 研究方向 ： 所有方向 命题教师签名 ： 考生须知考生须知考生须知考生须知 1答案必须写在答题纸上 ，写在试题册上无效 。 2答题时一律使用蓝 、黑色墨水笔作答 ，用其它笔答题不给分 。 3交卷时 ，请配合监考人员验收 ，并请监考人员在准考证相应位置签字 （作为考生交 卷的凭证 ）。 否则 ，产生的一切后果由考生自负 。 一、 设 b = = ， 求a，b为何值时 ， b = 有解 ，（ 20分） 二、 试化 二次型 + - + 为标准型 ， 并求出变到标准型的正交变换 （20分） 三、 元素属于实数域 R的2阶方阵按矩阵的加法与数量乘法构成 R上的一个线性 空间 ，令 = ，定义变换 d = - 为其上的线 性变换 ， 求 d 的核的维数和一组基 。（20分） 四、 设实矩阵 ，证明秩 =秩 为矩阵 的转置 。（ 15分） 五、 设 = = = ， 证明 ： （1） 彼此相似 ； （2）若 = ， 则 至少有两个特征根为 0。（ 25分） 六、 证明 + + 整除 + + + ，其中 均为正整数 （15分） 七、 设 ， 为正定矩阵 ， 矩阵 的秩为 ，求 = 的正 、负惯性 指数 ，其中 为矩阵 的转置 （15分） 八、 设 = ， 满足 = = ，证明 = = = 为 的代数余子式 。（ 20分）
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