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姓名：报考专业：准考证号码：密封线内不要写题2019年全国硕士研究生招生考试初试自命题试题科目名称：高等代数（A卷B卷）科目代码：614答案注意：所有答题内容必须写在答题纸上，写在试题或草稿纸上的一律无效；考完后试题随答题纸交回。一、选择题(共8小题，每小题5分，共40分)1、C 2、D 3、A 4、D 5、A 6、D 7、B 8、A 二、填空题(共6小题，每小题5分，共30分)1、 2、2. 3、2 4、0 5、 3 6、2三、计算题(45分)1、解：（1）利用相似对角化。由，可得的特征值为，故.当时，由，取的属于特征值的特征向量为;当时，由，取的属于特征值的特征向量为; 当时，由，取的属于特征值的特征向量为. （3分）设，由可得， （4分）对于，有，故 （3分）（2），由于，故，因此， （5分）2、解：（1）由方程组无解，可知，故这里有，或。 （4分）由于当时，而当时，。综上，故符合题目。 （4分）（2）当时，故， （4分）因此，方程组的通解为,其中为任意实数。（3分）3、 (1)证明： （3分） 故为的一个基. （4分）（2）由题意知，即即 （4分）即，得k=0 （4分）四、证明题(35分)1、证明：记阶矩阵，显然有， （4分）矩阵A的特征值为n，0，0，0（n1个零）；矩阵B的特征值也为n，0，0，0，（n1个零） （4分）而A是实对称矩阵，故可以对角化为；对于矩阵B，又， （3分）知矩阵B可以对角化为 再由A，B ，得AB （4分）2、证明：令是和的任一个公因式，则整除和之一，比如说整除，那么也整除， （4分）这也就说明是和的公因式， （4分）由，可知。 （2分）3、证明：设向量是线性变换的关于特征值的特征向量，则， （3分）用线性变换的逆变换作用上面式子的两端，则有， （4分）由于特征向量，所以。 （4分）第 4 页 共 4 页
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