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南京审计大学2021 年硕士研究生招生考试初试（笔试）试题（A 卷）科目代码:813满分:150分科目名称:概率论与数理统计注意: 认真阅读答题纸上的注意事项；所有答案必须写在答题纸上，写在本试题纸或草稿纸上均无效；本试题纸须随答题纸一起装入试题袋中交回！一、计算题（共 3 小题，每题 15 分，共 45 分）1. 设随机变量 X 服从标准正态分布 N (0,1) ，（1）求Y =| X | 的概率密度函数 fY ( y) ；（2）求Y 的变异系数。2. 设随机变量 X 服从均匀分布U (0,1) ，当给定 X = x 时，随机变量Y 的条件概率密度为x,0 y Y ) 。3. 设 X1, Xn 是来自正态分布 N (m,1) 的样本，考虑如下假设检验问题H0：m = 2,H1：m = 3 ， 若检验由拒绝域W =X 2.6确定。（1） 当n = 20 时，求检验犯两类误差的概率；（2） 如果要使得检验犯第二类错误的概率 b 0.01， n 最小应取多少？二、综合题（共 3 小题，每题 15 分，共 45 分）1. 甲、乙两选手进行乒乓球单打比赛，已知在每局中甲胜的概率为 0.6，乙胜的概率为 0.4。比赛可采用三局二胜制或者五局三胜制，问哪一种比赛制度对甲更有利？（需要分别计算甲在这两个比赛制度下的获胜概率）1n2. （1）设 X , X 是来自总体密度函数 f (x;q ) = qcq x-(q +1) , x c, c 0,q 1的样本， 求参数q 的最大似然估计；（2）设总体为均匀分布U (q ,q +1) ，q 的先验分布为均匀分布U (10,16) 。现有三个观测值：11.7，11.1，12.0。求q 的后验分布。科目代码：813 科目名称：概率论与数理统计 第 1 页 共 2 页3. 在无理数p = 3.1415926的前 800 位小数中，数字0,1, 2,9 各出现的次数如下：数字0123456789频数74928379807377757691利用皮尔逊 c 2 拟合优度检验方法，检验这 10 个数字的出现是否是等概率的？（a = 0.05）三、应用题（共 3 小题，每题 15 分，共 45 分）1. 袋中装有m 枚正品硬币、n 枚次品硬币(次品硬币的两面均印有国徽)，在袋中任取一枚，将它投掷r 次，（1）求投掷r 次都出现国徽的概率；（2）已知投掷r 次都出现国徽，问这枚硬币是正品的概率。2. 现在人民富裕了，小轿车越来越多，各小区的车位日益紧张。假设一小区有 200 个家庭，每个家庭拥有汽车辆数 X 的分布律为 P( X = 0) = 0.1， P( X = 1) = 0.6 ， P( X = 2) = 0.3 ，求需要多少车位，才能使每辆汽车都拥有一个车位的概率至少为 0.95。3. 在钢丝碳含量对于电阻效应的研究中，得到以下数据：碳含量 x (%)0.100.300.400.550.700.800.95电阻 y ( mW )1518192122.623.82677777iiiii i经计算 x = 3.8, y = 145.4, x2 = 2.595, y2 = 3104.2, x y = 85.61 ，i=1i=1i=1i=1i=1（1） 建立线性回归方程 y = a + bx ；（2） 使用t 检验对建立的回归方程做显著性检验(a =0.01) 。（3） 求 x = 0.50 处观察值 y 置信水平为 0.95 的预测区间。四、证明题（共 2 小题，第 1 小题 7 分，第 2 小题 8 分，共 15 分） X + X 21. 设 X , X 是来自正态分布 N (0,s 2 ) 的简单随机样本，证明Y = 12 F (1,1) .12 X1 - X 2 n2. 设 X1, Xn 是来自泊松分布 P(l) 的简单随机样本，证明T = Xi 是充分统计量。i=15（本试卷可能用到的数和分位数：= 2.236 ，= 1.414 ， F(1.645) = 0.95 ，20.05F(2.68) = 0.9963 ， F(1.79) = 0.9633 ， F(2.33) = 0.9900 ， c 2 (9) = 3.325,c20.05(10) = 3.940, c 2(9) = 16.919,2c0.95(10) = 18.307 ， t0.995(5) = 4.0322 ， t0.975(5) = 2.5706 ，0.95t0.995 (7) = 3.4995 ， t0.975 (5) = 2.3646 ，这里分位数均为下侧分位数）科目代码：813 科目名称：概率论与数理统计 第 2 页 共 2 页
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