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2020年招收攻读硕士学位研究生入学考试试题*招生专业与代码：网络空间安全083900考试科目名称及代码：抽象代数845（B卷）考生注意：所有答案必须写在答题纸（卷）上，写在本试题上一律不给分。一、填空题（共5小题，每小题4分，共20分）。1.设88, 32, 20a b c ，则, ,a b c的最大公约数为_。2.在4次对称群4S中,(134)(124)。3. 11阶循环群的生成元有个。 4.设G a 是15阶循环群，则G的非平凡子群的个数是_。5.在多项式环2 Z x中，3( 1)( 1)x x x =_。二、判断题（在题后的括号内正确的画“”，错误的画“”，填错或未填者，该小题无分。共5小题，每小题4分，共20分）。1. ( )4阶群在同构意义下只有一个。2. ( )整数加法群Z的子群一定是某个nZ。3. ( )每一个环中都存在唯一的单位元。4. ( )整数环的自同构只有恒等自同构。 5. ( )任何一个有限域所含元素的个数必为素数或素数的方幂。三、解答题（共3小题，其中第1小题10分，第2、3小题各15分，共40分）。1(10分)分别写出群、环和域的定义，试说明它们的区别和联系。2(15分)设G g是15阶循环群，(1)求G中各个元素的阶；(5分)(2)求G的所有生成元；(5分)(3)求G的所有非平凡子群。(5分)3(15分)设3S为3次对称群， 21, ,G ，其中23ie 。(1)说明在通常的乘法运算下G是一个群；(5分) (2)确定3S的全部正规子群；(5分) (3)说明G与3S的一个子群同构。(5分)四、证明题（共2小题，每小题15分，共30分）。1(15分)设,a b是群G的两个元素，满足ab ba。a的阶为m，b的阶为n，且( , ) 1m n 。证明ab的阶为mn。2(15分)设,s t是两个正整数，d和m分别是它们的最大公约数和最小公倍数。(1)证明( ) ( )s t和( ) ( )s t都是整数环的理想，并且( ) ( ) ( )s t d ，( ) ( ) ( )s t m；(10分)(2) ( ) ( )s t是整数环的理想吗？请说明理由。(5分) 五、解答证明题（共2小题，第1小题15分，第2小题25分，共40分）。1. (15分)设u是有理数域Q上不可约多项式3( ) 3 1f x x x 的一个实根。(1)证明 21, ,u u是( )Q u在Q上的一组基；(5分)(2)将2 1(3 7 5)u u 表示成21, ,u u的Q-线性组合。(10分)2(25分)设1 2, , nm m m为正整数，imZ (1 )i n 为整数模im剩余类环。(1) (10分)证明 1 2 1 2m m m mZ Z Z 当且仅当1 2gcd( , ) 1m m 。(2) (5分)设im (1 )i n 两两互素，证明1 2 1 2n nm m m m m mZ Z Z Z 。(3) (10分)韩信点兵：有兵一队，若成五行纵队，则末行一人，成六行纵队，则末行五人，成七行纵队，则末行四人，成十一行纵队，则末行十人，问兵多少人？用现在的数学语言就是解如下同余方程组：1(m od5)5(m od6)4(m od7)10(m od11)xxxx 求该同余方程组的最小正整数解。考试科目：抽象代数共2页，第2页
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