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第- 1 - 页，共- 2 - 页 绍兴 文理 学 院 2021 年 硕士研究 生入学考 试初试试 题 报考专业 ： 基 础 数学、计 算数学、 应用数学 、数学教 育 考试科目 ： 数学 分析 科目代码 ： 651 注意事项 ： 本试题的 答 案必须写 在 规定的答 题 纸上，写 在 试题上不 给 分 。 一 、 判断题 （判断下列 命题的对与 错， 对的请 打 “” ，错 的 请 打“” 。 每小题 3 分 ，共 10 小题，总 计 30 分） 1数集 S 的上确界一定属于 S . 2. 无界数列一定为无穷大量. 3. 设 () fx 在 (,) + 内可导， 且| ( ) | 1 fx k ， 0 (,) x + ，令 1 ( ) ( 0,1, 2, ) nn x fx n + = = ， 则 lim n n x 存在且该极限为方程 () x fx = 的根，且是唯一的. 4. 瑕积分 1 0 ln x dx x 发散. 5. 已知函数列 ) ( x f n 在区间 I 上收敛于 ) (x f ，则 ) (x f 与 ) ( x f n 的各项在 I 上连续是已知 函数列 ) ( x f n 一致收敛于 ) ( ) ( n x f 的充分条件 6. 以 2 为周期的函数 2 1, 0 () 1 ,0 x fx xx = + ，设其傅立叶级数的和函数为 () sx ，则 2 () s = . 7. 函数 22 22 22 0 (, ) 00 xy xy xy f xy xy + + = += ， ， 在点(0,0)处连续且偏导数存在. 8. 设 ( ) x f 在 ) + , a 上一致连续，则 2 () fx 在 ) + , a 上一致连续. 9. 设 ( ) y x f , 在点 ( ) 0 0 , y x 处任意方向导数都存在，则函数 ( ) y x f , 在点 ( ) 0 0 , y x 处连续. 10. 方程 323 0 xyz x y z + + = 在原点附近可以确定唯一的隐函数 (, ) z f xy = . 二 、 计算题（每小题 11 分，共 8 小题，总 计 88 分） 1. 求极限 22 0 11 lim sin x xx .第- 2 - 页，共- 2 - 页 2. 求函数 2 2 4 ) , ( y xy x y x f + + = 在圆域 1 2 2 + y x 上的最大值和最小值. 3. 计算积分 22 22 2 0 ax bx ee dx x + ，其中 , ab 为两非负实常数. 4. 计算定积分 2 2 2 sin 1 x x e xdx e + . 5 计算曲面积分 + S dydz z y x dxdy y x ) ( ) ( ，其中 S 是由 1 2 2 = + y x ， 0 z = 与 3 z = 所 围立 体的外侧. 6. 计算瑕积分 3 1 0 1 x dx x . 7. 计算幂级数 = + + + 0 2 ) 2 )( 1 ( ) 1 ( n n n n n x 的和函数. 8. 计算 + V dxdydz y x z 2 2 ，其中V 是平面 yOz 上的平面图 形 22 ( , ) | 0 , 1, 2 1 D yz y y z y z = + 绕 Z 轴旋转一周所生成的空间图形. 三 、 证明题（每小题 16 分，共 2 小题，总 计 32 分） 1. 设 (, ) uxy 是 ( ) 2 0, 0 R 上 2 C 径向函数，即存在一元函数 () fx 使得 22 ( , ) ( ), uxy f r r x y = = + .若 22 22 0 uu xy += ， 证明： （1）函数 () fr 必满足方程 1 ( ) ( ) 0 f r fr r += ； （10 分） （2）函数 (, ) uxy 22 12 ln C xyC = + ，其中 12 , CC 是任意两实常数.（6 分） 2. 证明： ( ) 1 2 0 lim sin cos 2 n n n x x dx + +=
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