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南京航空航天大学 2012 年硕士研究生入学考试初试试题 （ A 卷） 科目代码： 814 科目名称： 高等代数 满分： 150 分 注意: 认真阅读答题纸上的注意事项；所有答案必须写在答题纸上，写在本试题纸或 草稿纸上均无效；本试题纸须随答题纸一起装入试题袋中交回！ 一、 (20 分)设 TTT )1,1,0(,)0,0,3(,)2,2,1( 321 = 在基 321 , 下的坐标分 别是 312 , （这里“ T ”表示转置，以下各题相同） 求向量 321 , ； 在 3 R 中求一组标准正交基 321 , ，使得从基 321 , 到基 321 , 的过渡矩 阵为上三角矩阵 二、(15 分)设有两组向量 . 1 2 , 1 :)II(;1 1 , 5 3 2 , 3 2 1 :)I( 2 21321 + = = = = = c b c b a 求参数 a，使得 321 , 线性相关； 当 321 , 线性相关时，求参数 b 和 c，使得向量组（ I）和（ II）等价 三、(25 分)设 3 R 的线性变换 T 使得 . 1 1 1 1 1 1 , 0 1 1 1 1 0 , 1 1 0 0 1 1 = += = aTaTT 求 T 在基 TTT )1,0,0(,)0,1,0(,)0,0,1( 321 = 下的矩阵 A； 如果 T 有三个线性无关的特征向量，求参数 a和可逆矩阵 P ，使得 APP 1 是对角 矩阵； 如果 T )1,1,1(= 是 T 的一个特征向量，证明 A不能与对角矩阵相似，并求 A的 Jordan 标准形 814 高等代数 第 1 页 共 2 页 四、(20 分)设实二次型 2 21 2 21 2 21 )( )2)2(2()1()( n nn xannxnx xxaxxxxaXf + += 的正惯性指数小于 n，求参数 a以及使得 0)( =Xf 的全部 n维向量 X 五、(15 分)设 CBA , 是三个 n阶矩阵，且 n EBCAAB =+= ,0 ，证明： 秩( A)秩( B) n= ； 矩阵 A与形如 00 0 r E 的矩阵相似，其中 k E 表示 k 阶单位矩阵， r 是矩阵 A的秩 六、(15 分)设 1)( 2 += xxxf ， n是自然数，证明： 122 )1(|)( + + nn xaxxf 的充分必要条件是 1=a ，这里“ |”表示整除； 对任意多项式 )(xg ， 1)(),( =xgxf 的充分必要条件是 1)(),( =xgxf nn 七、(20 分)设 A是 n阶正定矩阵， B 是 n阶实对称矩阵，证明： 存在 n阶可逆矩阵 P ，使得 n T EAPP = 而 BPP T 为对角矩阵； 存在正数 0 t ，当 0 tt 时， BAt + 也是正定矩阵； 如果 B 还是半正定矩阵，则 ABA + 八、(20 分)设 BA, 是两个 n阶实对称矩阵，且 3 BA= ，证明： 方程组 0=AX 与 0=BX 同解； 对任意实数 0c ，矩阵 22 BcBEcP n += 是正定矩阵； A的特征向量都是 B 的特征向量 814 高等代数 第 2 页 共 2 页
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