2022年北京林业大学601数学分析考试大纲.pdf

601 数 学 分 析 考 试 大 纲一 、 大 纲 综 述数 学 分 析 是 大 学 数 学 系 本 科 学 生 的 最 基 本 课 程 之 一 ， 也 是 多 数 理 工 科 专 业 学 生 的 必 修 基 础 课 。 为 帮 助考 生 明 确 考 试 范 围 和 有 关 要 求 ， 特 制 订 数 学 分 析 考 试 大 纲 。 数 学 分 析 考 试 大 纲 根 据 北 京 林 业 大 学 数 学 与 应 用 数 学 本 科 数 学 分 析 教 学 大 纲 编 制 而 成 ， 适 用于 报 考 北 京 林 业 大 学 数 学 学 科 各 专 业 （ 基 础 数 学 、 概 率 论 与 数 理 统 计 、 计 算 数 学 、 应 用 数 学 ） 硕 士 学 位 研究 生 的 考 生 。 参 考 书 目 以 华 东 师 范 大 学 数 学 系 编 写 的 教 材 为 主 ， 其 他 两 个 参 考 书 目 为 辅 。二 、 考 试 内 容 1 实 数 集 与 函 数（ 1） 确 界 概 念 ， 确 界 原 理（ 2） 函 数 概 念 与 运 算 ， 初 等 函 数2. 数 列 极 限（ 1） 数 列 极 限 的 一 N 定 义（ 2） 收 敛 数 列 的 性 质（ 3） 数 列 的 单 调 有 界 法 则 ， 柯 西 收 敛 准 则 ， 重 要 极 限3 函 数 极 限(1) 函 数 极 限 的 一 M 定 义 和 一 定 义 ， 单 侧 极 限 (2) 函 数 极 限 的 性 质(3) 海 涅 定 理 （ 归 结 原 则 ） ， 柯 西 收 敛 准 则 ， 两 个 重 要 极 限(4) 无 穷 小 量 与 无 穷 大 量 的 定 义 、 性 质 ， 无 穷 小 （ 大 ） 量 阶 的 比 较4 函 数 的 连 续 性(1) 函 数 在 一 点 连 续 ， 单 侧 连 续 和 在 区 间 上 连 续 的 定 义 ， 间 断 点 的 类 型(2) 连 续 函 数 的 局 部 性 质 。 复 合 函 数 的 连 续 性 ， 反 函 数 的 连 续 性 。 闭 区 间 上 连 续 函 数 的 性 质 。(3) 一 致 连 续 的 定 义 ， 初 等 函 数 的 连 续 性5 导 数 与 微 分(1) 导 数 的 定 义 ， 导 数 的 几 何 意 义(2) 导 数 四 则 运 算 、 反 函 数 导 数 、 复 合 函 数 导 数 ， 求 导 法 则 与 求 导 公 式 (3) 参 数 方 程 所 确 定 的 函 数 的 导 数 ， 高 阶 导 数 (4) 微 分 概 念 、 微 分 基 本 公 式 ， 微 分 法 则 ， 一 阶 微 分 形 式 的 不 变 性 。 微 分 在 近 似 计 算 中 的 应 用 ， 高 阶微 分6 微 分 中 值 定 理 及 其 应 用(1) 费 马 定 理 ， 罗 尔 定 理 ， 拉 格 朗 日 定 理(2) 柯 西 中 值 定 理 ， 罗 比 达 法 则 ， 不 定 式 极 限(3) 泰 勒 公 式(4) 函 数 的 单 调 性 、 凸 性 与 拐 点 、 极 值 与 最 值(5) 渐 近 线 ， 函 数 作 图 。7 实 数 的 完 备 性（ 1） 区 间 套 定 理 ， 柯 西 收 敛 准 则 ， 聚 点 定 理 ， 有 限 覆 盖 定 理 ， 致 密 性 定 理 （ 2） 闭 区 间 上 连 续 函 数 的 性 质 及 证 明8 不 定 积 分（ 1） 原 函 数 与 不 定 积 分 的 概 念 ， 基 本 积 分 表 ， 线 性 运 算 法 则（ 2） 换 元 积 分 法 ， 分 部 积 分 法（ 3） 有 理 函 数 的 积 分 法 。 可 化 为 有 理 函 数 的 某 些 类 型 函 数 的 积 分9 定 积 分（ 1） 定 积 分 的 概 念 ， 牛 一 莱 定 理（ 2） 可 积 的 必 要 条 件 ， 达 布 上 下 和 ， 可 积 的 充 要 条 件 ， 可 积 函 数 类（ 3） 定 积 分 的 性 质 ： 线 性 性 质 ， 区 间 可 加 性 ， 单 调 性 ， 绝 对 可 积 性 ， 积 分 第 一 、 第 二 中 值 定 理（ 4） 微 积 分 学 基 本 定 理 。 换 元 积 分 法 与 分 部 积 分 法 。 泰 勒 公 式 的 积 分 型 余 项 10 定 积 分 的 应 用（ 1） 平 面 图 形 之 面 积 ， 由 截 面 之 面 积 求 立 体 体 积（ 2） 平 面 曲 线 的 弧 长 与 曲 率 ， 旋 转 曲 面 的 面 积（ 3） 功 ， 液 体 的 压 力 ， 引 力11 反 常 积 分（ 1） 无 穷 限 反 常 积 分（ 2） 无 界 函 数 的 反 常 积 分12 数 项 级 数（ 1） 级 数 的 收 敛 性 与 和 的 概 念 ， 柯 西 收 敛 准 则 ， 收 敛 级 数 的 基 本 性 质（ 2） 正 项 级 数 收 敛 性 的 一 般 判 别 法 ， 比 式 判 别 法 与 根 式 判 别 法 ， 积 分 判 别 法 （ 3） 绝 对 收 敛 与 条 件 收 敛 ， 交 错 级 数 ， 莱 布 尼 兹 判 别 法 ， 阿 贝 尔 判 别 法 与 狄 利 克 雷 判 别 法13 函 数 列 与 函 数 项 级 数 （ 1） 函 数 列 与 函 数 项 级 数 的 收 敛 性 与 一 致 收 敛 性 ， 一 致 收 敛 的 柯 西 准 则 ， M 一 判 别 法 ， 阿 贝 尔 判 别法 ， 狄 利 克 雷 判 别 法（ 2） 函 数 列 极 限 函 数 与 函 数 项 级 数 的 和 函 数 的 连 续 性 、 逐 项 积 分 与 逐 项 微 分14 幂 级 数（ 1） 阿 贝 尔 定 理 ， 收 敛 半 径 与 收 敛 区 间 ， 幂 级 数 的 性 质 ： 收 敛 区 间 内 闭 一 致 收 敛 性 、 连 续 性 、 逐 项积 分 与 逐 项 微 分 ， 四 则 运 算（ 2） 初 等 函 数 的 幂 级 数 展 开15 Fourier级 数（ 1） 三 角 级 数 ， 三 角 函 数 系 的 正 交 性 ， 付 里 叶 级 数 ， 以 2L为 周 期 的 付 里 叶 级 数 ， 收 敛 定 理 。（ 2） 以 2L 为 周 期 的 函 数 的 付 氏 级 数 ， 偶 函 数 与 奇 函 数 的 付 氏 级 数 。 （ 3） 收 敛 定 理 的 证 明 。16 多 元 函 数 的 极 限 与 连 续（ 1） 二 元 函 数 的 定 义 ， 二 元 函 数 的 极 限（ 2） 二 元 函 数 极 限 的 局 部 性 质 ， 二 元 函 数 的 连 续 性 ， 有 界 闭 区 域 上 连 续 函 数 的 性 质要 求 ：17 多 元 函 数 微 分 学（ 1） 可 微 性 与 全 微 分 的 概 念 ， 偏 导 数 的 定 义 与 几 何 意 义 ， 全 微 分 存 在 条 件 ， 可 微 性 的 几 何 意 义（ 2） 复 合 函 数 的 偏 导 数 ， 复 合 函 数 的 全 微 分 ， 一 阶 微 分 形 式 的 不 变 性（ 3） 方 向 导 数 与 梯 度（ 4） 高 阶 偏 导 数 ， 二 元 函 数 的 中 值 定 理 与 泰 勒 公 式 ， 二 元 函 数 的 极 值 18 隐 函 数 定 理 及 其 应 用（ 1） 隐 函 数 定 理 ， 隐 函 数 求 导 法（ 2） 隐 函 数 组 定 理 、 隐 函 数 组 求 导 法 ， 反 函 数 组 与 坐 标 变 换（ 3） 平 面 曲 线 的 切 线 与 法 线 ， 空 间 曲 线 的 切 线 与 法 平 面 ， 曲 面 的 切 平 面 与 法 线（ 4） 条 件 极 值 与 拉 格 朗 日 乘 数 法19 含 参 量 积 分（ 1） 含 参 量 正 常 积 分 的 概 念 和 性 质（ 2） 含 参 量 非 正 常 积 分 的 收 敛 与 一 致 收 敛 ， 一 致 收 敛 的 柯 西 准 则 ， 维 尔 斯 特 拉 斯 判 别 法 ， 连 续 性 ， 可微 性 ， 可 积 性（ 3） 欧 拉 积 分 （ 函 数 和 B 函 数 ） 20 曲 线 积 分（ 1） 第 一 型 曲 线 积 分 （ 2） 第 二 型 曲 线 积 分21 重 积 分（ 1） 二 重 积 分 的 定 义 ， 二 重 积 分 的 性 质 与 计 算（ 2） 格 林 公 式 ， 曲 线 积 分 与 路 径 无 关 的 条 件（ 3） 二 重 积 分 的 换 元 积 分 法 ： 极 坐 标 变 换 与 一 般 坐 标 变 换（ 4） 三 重 积 分 的 定 义 与 计 算 ， 三 重 积 分 的 换 元 积 分 法 ： 柱 坐 标 变 换 ， 球 坐 标 变 换 ， 一 般 坐 标 变 换（ 5） 重 积 分 的 应 用22 曲 面 积 分（ 1） 第 一 型 曲 面 积 分（ 2） 第 二 型 曲 面 积 分 （ 3） 高 斯 公 式 与 斯 托 克 斯 公 式23 向 量 函 数 微 分 学（ 1） n维 欧 式 空 间 和 向 量 函 数（ 2） 向 量 函 数 的 微 分（ 3） 反 函 数 定 理 和 隐 函 数 定 理三 、 考 试 要 求1.理 解 确 界 概 念 与 确 界 原 理 ， 并 能 运 用 于 有 关 命 题 的 运 算 与 证 明 。 深 刻 理 解 函 数 的 意 义 ， 掌 握 函 数 的 四 则运 算 。2. 深 刻 理 解 数 列 极 限 的 一 N 定 义 ， 并 会 运 用 它 验 证 给 定 数 列 的 极 限 ； 掌 握 数 列 极 限 的 性 质 ， 并 会 运 用 它 证 明 或 计 算 给 定 数 列 的 极 限 ； 掌 握 数 列 极 限 存 在 的 充 要 条 件 与 充 分 条 件 ， 并 能 运 用 这 些 条 件 证 明 或 判 断 数列 极 限 的 存 在 性 ； 掌 握 重 要 极 限 并 能 运 用 它 计 算 某 些 数 列 极 限 。3. 理 解 各 类 函 数 极 限 的 定 义 ， 并 能 按 定 义 验 证 给 定 的 函 数 极 限 ； 掌 握 函 数 极 限 的 性 质 ， 并 能 用 它 证 明 或 计算 给 定 的 函 数 极 限 。 掌 握 函 数 极 限 的 归 结 原 则 ， 并 能 用 它 来 判 断 函 数 极 限 的 存 在 性 和 计 算 某 些 数 列 极 限 。掌 握 函 数 极 限 的 柯 西 准 则 ， 了 解 单 侧 极 限 的 单 调 有 界 定 理 ； 熟 练 掌 握 两 个 重 要 极 限 ， 并 运 用 它 们 进 行 有 关函 数 极 限 的 计 算 ； 掌 握 各 类 无 穷 小 量 与 无 穷 大 量 的 定 义 与 性 质 ， 理 解 无 穷 小 （ 大 ） 量 的 阶 的 概 念 。4. 深 刻 理 解 函 数 连 续 性 概 念 ， 掌 握 间 断 点 的 概 念 及 分 类 ； 掌 握 连 续 函 数 的 局 部 性 质 以 及 复 合 函 数 和 反 函 数的 连 续 性 ， 掌 握 闭 区 间 上 连 续 函 数 的 性 质 ； 理 解 函 数 在 区 间 上 一 致 连 续 概 念 ， 并 能 用 定 义 验 证 给 定 函 数 在某 区 间 上 为 一 致 连 续 或 非 一 致 连 续 。5. 深 刻 理 解 导 数 概 念 ， 并 能 用 定 义 求 某 些 函 数 在 一 点 的 导 数 ， 清 楚 可 导 与 连 续 的 关 系 ； 掌 握 求 导 法 则 与 技 巧 ， 能 熟 练 地 用 它 们 计 算 可 导 函 数 的 导 数 ； 理 解 可 微 性 概 念 ， 并 能 用 于 近 似 计 算 。 理 解 高 阶 导 数 的 概 念 ，掌 握 计 算 方 法 。 掌 握 参 数 方 程 所 确 定 函 数 的 求 导 方 法 。 6. 深 刻 理 解 中 值 定 理 的 分 析 意 义 与 几 何 意 义 ， 会 证 明 中 值 定 理 ， 学 会 用 作 辅 助 函 数 证 明 问 题 的 方 法 。 会 用中 值 定 理 论 证 问 题 ； 熟 练 掌 握 罗 比 达 法 则 ， 并 能 迅 速 准 确 地 计 算 出 各 种 不 定 式 极 限 ； 理 解 泰 勒 定 理 的 内 容与 意 义 ， 会 用 泰 勒 公 式 解 题 ； 掌 握 应 用 导 数 研 究 函 数 单 调 性 、 极 值 和 凹 凸 性 的 方 法 。 知 道 描 绘 函 数 图 象 的步 骤 和 方 法 。7. 理 解 描 绘 实 数 完 备 性 的 几 个 定 理 的 意 义 ， 并 能 运 用 它 们 论 证 一 些 理 论 问 题 。 掌 握 闭 区 间 上 连 续 函 数 的 性质 和 有 关 命 题 证 明 的 技 巧 。8. 掌 握 原 函 数 与 不 定 积 分 概 念 、 不 定 积 分 的 运 算 法 则 ； 掌 握 换 元 积 分 法 与 分 部 积 分 法 、 分 解 有 理 函 数 为 部分 分 式 的 方 法 ； 掌 握 某 些 可 有 理 化 函 数 的 不 定 积 分 的 求 法 。9. 深 刻 理 解 定 积 分 的 概 念 与 意 义 。 理 解 可 积 分 的 必 要 条 件 、 充 要 条 件 ， 初 步 掌 握 判 断 函 数 是 否 可 积 的 基 本方 法 ； 熟 练 掌 握 定 积 分 的 性 质 ， 并 能 用 它 证 明 某 些 有 关 问 题 ； 深 刻 理 解 微 积 分 学 基 本 定 理 的 意 义 ， 并 具 有 应 用 它 证 明 有 关 定 积 分 问 题 的 能 力 ； 熟 练 掌 握 与 应 用 牛 一 莱 公 式 ， 熟 练 掌 握 计 算 定 积 分 的 基 本 方 法 和 技 巧 。10. 熟 练 地 应 用 定 积 分 来 计 算 平 面 图 形 的 面 积 ， 曲 线 弧 长 及 曲 率 ， 旋 转 体 的 表 面 积 与 体 积 ， 以 及 掌 握 由 截面 面 积 函 数 求 体 积 的 基 本 方 法 ； 能 运 用 定 积 分 解 决 某 些 物 理 问 题 。11. 深 刻 理 解 反 常 积 分 的 各 类 收 敛 性 概 念 ， 掌 握 反 常 积 分 的 收 敛 判 别 法 。12. 掌 握 级 数 敛 散 性 定 义 及 意 义 ， 熟 练 掌 握 级 数 敛 散 性 判 别 法 ； 掌 握 收 敛 级 数 与 绝 对 收 敛 级 数 的 性 质 ， 具有 应 用 级 数 收 敛 性 定 义 和 收 敛 级 数 的 性 质 证 明 级 数 中 一 些 理 论 问 题 的 能 力 。13. 深 刻 理 解 一 致 收 敛 概 念 ， 熟 练 掌 握 一 致 收 敛 定 义 及 其 否 定 叙 述 ， 并 能 用 一 致 收 敛 定 义 或 判 别 法 判 断 函数 项 级 数 的 一 致 收 敛 性 ； 牢 记 有 关 性 质 定 理 的 条 件 ， 并 能 用 它 们 讨 论 和 函 数 （ 或 极 限 函 数 ） 的 分 析 性 质 。14. 掌 握 幂 级 数 的 性 质 ， 会 求 收 敛 半 径 ， 会 求 一 些 幂 级 数 的 和 函 数 ； 记 住 某 些 典 型 的 初 等 函 数 的 幂 级 数 展式 ， 并 能 将 一 些 简 单 函 数 展 成 幂 级 数 。 15. 理 解 收 敛 定 理 的 意 义 ； 会 将 函 数 展 开 成 付 里 叶 级 数 ； 会 利 用 某 些 展 式 求 一 些 特 殊 数 项 级 数 的 和 。16. 掌 握 平 面 点 集 的 一 些 概 念 ： 聚 点 、 内 点 、 开 集 、 闭 集 、 开 域 、 闭 域 等 。 掌 握 平 面 点 集 的 基 本 定 理 。 掌握 二 元 函 数 定 义 ， 掌 握 重 极 限 与 累 次 极 限 定 义 ； 会 求 重 极 限 与 累 次 极 限 ； 掌 握 累 次 极 限 换 序 的 条 件 ； 掌 握二 元 函 数 连 续 与 一 致 连 续 的 定 义 ， 以 及 有 界 闭 域 上 连 续 函 数 的 性 质 。17. 掌 握 偏 导 数 的 定 义 及 求 偏 导 数 的 运 算 ； 理 解 全 微 分 的 概 念 及 意 义 ， 会 求 多 元 函 数 的 全 微 分 ； 能 够 将 简单 的 二 元 函 数 展 成 泰 勒 级 数 ， 掌 握 二 元 函 数 的 中 值 定 理 ； 会 求 二 元 函 数 的 局 部 极 值 和 最 大 （ 小 ） 值 。 掌 握方 向 导 数 定 义 ， 会 求 方 向 导 数 。18. 理 解 隐 函 数 的 概 念 与 意 义 ， 掌 握 由 一 个 方 程 确 定 隐 函 数 的 充 分 条 件 ； 知 道 二 元 函 数 组 在 一 点 的 邻 域 内存 在 反 函 数 组 的 条 件 ， 会 求 隐 函 数 及 隐 函 数 组 的 导 数 或 偏 导 数 及 高 阶 导 数 或 偏 导 数 ； 会 求 函 数 组 的 函 数 行列 式 ， 并 掌 握 函 数 行 列 式 的 性 质 ； 会 求 平 面 曲 线 的 切 线 与 法 线 ， 空 间 曲 线 的 切 线 与 法 平 面 ， 曲 面 的 切 平 面 与 法 线 ； 掌 握 条 件 极 值 的 必 要 条 件 ， 并 会 用 拉 格 朗 日 乘 数 法 求 条 件 极 值 。 19. 掌 握 含 参 量 正 常 积 分 的 概 念 、 连 续 性 、 可 积 性 与 可 微 性 ， 积 分 顺 序 的 交 换 ； 掌 握 含 参 变 量 非 正 常 积 分所 定 义 的 函 数 的 分 析 性 质 及 其 证 明 。 掌 握 含 参 量 非 正 常 积 分 的 一 致 收 敛 定 义 及 其 判 别 法 ， 会 应 用 积 分 号 下可 微 性 和 可 积 性 来 计 算 一 些 非 正 常 积 分 的 值 ； 会 用 函 数 和 B 函 数 计 算 一 些 积 分 的 值 。20. 掌 握 第 一 型 曲 线 积 分 的 概 念 及 物 理 意 义 ， 熟 练 计 算 第 一 型 曲 线 积 分 ； 掌 握 第 二 型 曲 线 积 分 概 念 ， 会 计算 第 二 型 曲 线 积 分 。21. 掌 握 二 重 积 分 的 定 义 、 可 积 条 件 、 性 质 ， 几 何 意 义 ； 掌 握 格 林 公 式 的 条 件 与 结 论 ， 并 会 证 明 和 应 用 格林 公 式 ； 掌 握 曲 线 积 分 与 路 线 无 关 的 条 件 ,并 能 用 它 计 算 第 二 型 曲 线 积 分 ； 掌 握 二 重 积 分 的 计 算 方 法 ； 掌 握三 重 积 分 的 定 义 、 物 理 意 义 及 性 质 ， 能 灵 活 地 运 用 柱 坐 标 变 换 和 球 坐 标 变 换 计 算 三 重 积 分 ； 能 用 重 积 分 解决 一 些 几 何 与 物 理 问 题 。22. 掌 握 第 一 型 曲 面 积 分 的 概 念 及 物 理 意 义 ， 能 熟 练 计 算 第 一 型 曲 面 积 分 ； 掌 握 第 二 型 曲 面 积 分 概 念 及 性 质 ， 会 计 算 第 二 型 曲 面 积 分 ； 掌 握 高 斯 公 式 与 斯 托 克 斯 公 式 的 条 件 与 结 论 ， 并 会 证 明 定 理 , 会 运 用 这 两 个定 理 解 决 问 题 。23. 掌 握 向 量 函 数 、 向 量 函 数 极 限 、 连 续 、 一 致 连 续 的 概 念 ； 掌 握 向 量 函 数 可 微 性 与 可 微 的 条件 ， 可 微 函 数 的 性 质 ， 极 值 的 必 要 条 件 。 掌 握 反 函 数 定 理 及 其 应 用 。四 、 试 题 结 构题 型 一1、 名 词 解 释 （ 约 占 20分 ）2、 填 空 题 （ 约 占 20分 ）3、 单 项 选 择 题 （ 约 占 20分 )4、 简 答 题 （ 约 占 20分 ）5、 计 算 题 （ 约 占 30分 ） 6、 证 明 题 （ 约 占 40分 ）题 型 二证 明 题 10道 （ 每 题 15分 ， 共 150分 ）五 、 考 试 方 式 及 时 间考 试 方 式 为 闭 卷 、 笔 试 ， 时 间 为 3小 时 ， 满 分 为 150分 。六 、 主 要 参 考 资 料 数 学 分 析 （ 第 四 版 ， 上 、 下 册 ） ， 华 东 师 范 大 学 数 学 系 ， 北 京 ： 高 等 教 育 出 版 社 ， 2010年 7月 。 数 学 分 析 （ 第 二 版 ， 一 、 二 、 三 册 ） ， 徐 森 林 等 编 著 ， 北 京 ： 清 华 大 学 出 版 社 ， 2020年 5月 。 数 学 分 析 （ 第 三 版 ， 上 下 册 ） ， 陈 纪 修 等 编 著 ， 北 京 ： 高 等 教 育 出 版 社 ， 2019年 4月 。