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2021年招收攻读硕士学位研究生入学考试试题*招生专业与代码：070101基础数学、070102计算数学、070103概率论与数理统计、070104应用数学、070105运筹学与控制论考试科目名称及代码：810高等代数（A卷）考生注意：所有答案必须写在答题纸（卷）上，写在本试题上一律不给分。 除非特别声明, 以下题目涉及的数都在复数域中.1.（20分）设 分别在有理数域, 实数域, 复数域上把分解为不 可约的多项式的乘积.2.（10分）计算行列式 .3. (20分) 设都是阶方阵, 且存在非零复数, 使得,(1) 证明: .(2) 设, 当时, 求. 4. (20分)含参数的方程组如下 ，当参数满足什么条件时, 该方程组有解. 考试科目： 共 2 页，第 1 页5. (20分) 在3维欧氏空间(通常的內积)中建立了右手坐标系, 定义旋转变换: 旋转轴为起点在原点的向量, 旋转角为(逆时针方向). 即把全体起点在原点的向量绕轴转动.(1) 求在的标准基下的矩阵.(2) 求的全部不变子空间.6. (20分) 设矩阵 ，其中为任意数, 求的Jordan标准形.7. (20分) 设同为阶方阵.(1) 证明: 与相似.(2) 证明: 与有相同的特征多项式. 8. (20分) 线性空间上一个线性变换称为半单的, 如果对的每个不变子空间,都存在的不变子空间使得证明: 若是线性空间上的半单变换, 是的一个不变子空间, 则限制在上也是半单的. 考试科目： 共 2 页，第 2 页
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