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本文来源于公众号：pku 考研联盟（ bdkylm）北京大学考研辅导班-尼克尔森微观经济学辅导讲义第三部分 生产和供给第 7 章 生产函数 RTS 的性质 规模报酬不变的生产函数的性质 位似生产函数 V.S 规模报酬 替代弹性的性质 技术进步 RTS 递减的条件2222300()klkllkklkllkfffdRTSfffl是拟凹函数(,)fl 是 RTS 递减的充分条件，但不是必要条件0klf 规模报酬不变生产函数的性质本文来源于公众号：pku 考研联盟（ bdkylm）（） 和 是齐次零次性 kMPL (,)(,)llMPtkk（2） 和 仅与 有关 令kL/kl1/tl/,1(,)l lMP（3）RTS 仅与 有关 位似生产函数/l 位似生产函数 V.S 规模报酬（1）位似生产函数 任何齐次函数的单调变换 其中 为规模报酬不变的生产函数(,)(,)rFklfl(,)fkl（2）位似生产函数可以是任何一种规模报酬的情况 （规模报酬递增）/ （规模报酬不变） / （规模报酬递减）1r1r1r 所有的 Cobb-Douglas / CES / 完全替代 / 固定比率的生产函数都是位似的 替代弹性（Elasticity of substitution）的性质（1）假设前提: 沿着等产量线；要素价格不变，其他可能的要素投入保持不变（2）表达式: (ln/)(l/)kdkRTSf 针对规模报酬不变的生产函数: klf本文来源于公众号：pku 考研联盟（ bdkylm） How to proof?（3）不同生产函数的替代弹性 完全替代（线性）： / 固定比率 ： / Cobb-Douglas: 01 CES 生产函数（ ）/prpqkl1r 1p 性质: （规模报酬递增）/ （规模报酬递减）r1r （完全替代） / （固定比率）/ （Cobb-Douglas 函数）10 技术进步（1）生产函数: (),qAtfkl本文来源于公众号：pku 考研联盟（ bdkylm）（2） 其中 （变化率）,qAqkqlGeG/idt 推导（课本 201 页）（3）特例: 1tqAekl ()qlkGG （分别考虑技术对劳动和资本的影响）1()ttAekl =第 8 章 成本函数本文来源于公众号：pku 考研联盟（ bdkylm） 成本最小化条件 生产扩张曲线（Expansion Path） 成本函数的性质 要素投入替代偏弹性（Partial elasticity of substitution） 技术进步对成本的影响 成本最小化条件（1）最小化的条件: lkfwRTSv 即: 最后一美元的边际产量对于任何一种投入要素都一致lkfwv（2）拉格朗日乘子的涵义 lkvf 实质: 边际成本，即增加一单位产量（约束）对成本的影响 生产扩张曲线（Expansion Path）（1）在等成本线的图上，不同产量水平下使得 的所有投入要素组合的wRTSv点的连线本文来源于公众号：pku 考研联盟（ bdkylm）（2）位似生产函数 生产扩张曲线为直线 类似于位似偏好下，收入扩张曲线为直线 Cobb-Douglas / CES / 完全替代 / 固定比率的生产扩张曲线都为直线（3）不存在劣等投入要素（ ）的条件下，扩张曲线斜率为正0ql 成本函数的性质（1）成本函数是要素价格的一次齐次性 (,)(,)Ctwrqtr（2）成本函数是产量，要素价格的非减函数 直观证明: 假设要素价格从 上升到 ，其成本函数是 w 的递减函数01则: 010*wlrklrk另外: （不满足成本最小化）10000*o ollwlrlrk 包络定理证明: ()CLMCq*0kv*0lw（3）成本函数是要素价格的凹函数 包络定理证明:2*()0CLkvv 图形解释（课本 227 页）本文来源于公众号：pku 考研联盟（ bdkylm）（4）AC 是要素价格的一次齐次；且为要素价格的增函数 Proof: ，而 C 是要素价格的增函数Aq本文来源于公众号：pku 考研联盟（ bdkylm）（5）MC 也是要素价格的一次齐次；对于正常要素，MC 是要素价格的增函数，对于劣等投入，MC 则为要素价格的减函数 Proof: 2(/)MCLqLkvvq对于正常投入: 对于劣等投入: 0kq0 要素投入替代偏弹性（Partial elasticity of substitution）（1）表达式: (ln/)(/)0kl klwvsv 对于固定比率的生产函数: kls（2）对比替代弹性（ ） 基于生产函数的性质 / 基于成本最小化的前提kls 对于存在其他投入要素时， 不允许其他要素的投入量发生改变； 则 kls允许其使用量发生变化 由于成本最小化要求 ，因此 和 在数值上是一致的lkfwRTSvkls 技术进步对成本的影响本文来源于公众号：pku 考研联盟（ bdkylm）（1）假设 生产函数为: (),qAtfkl()ktlt 生产函数是规模报酬不变的 技术中性，即: 不影响要素的价格，从而不影响要素的要素投入选择（2）结论: 0(,)(,)/(tCvwqvAt Proof: 00,1,1)/(,)/(t tqCvwtCvwqAt（3）技术进步不改变总成本的要素价格的弹性=第 9 章 利润最大化 逆弹性法则 利润函数性质 条件要素需求 V.S 要素需求 生产者剩余 利润最大化 要素价格对要素需求的影响本文来源于公众号：pku 考研联盟（ bdkylm） 逆弹性法则（1） （推导: ）,1qpPMCe,1()qpMCPe（2）这个式子仅针对 （富有弹性）有意义,1qp（3）面对供给者的需求越有弹性， P 与 MC 的差距越小（ ， ）,qpePMC 利润函数性质（1）利润函数是价格的一次齐次性 (,)(,)tpwvtpv 产量和要素需求是价格的零次齐次性 ,(,)qtqwv(,)(,)ktpwvkv(,)(,)ltpvl（2）利润函数是产出价格 P 的非递减函数 直观证明: 假设利润函数是产出价格 P 的递减函数，产出价格从 上升0p到 1p则: 01*pqwlrkpqlrk另外: 1011*llpqwlrkpqlrk 与利润最大化矛盾
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