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第1页 共4页 上海科技大学2019 年攻读硕士学位研究生 招生考试试题 科目代码：992 科目名称：数值代数 考生须知： 1. 本试卷满分为150分，全部考试时间总计180分钟。 2. 所有答案必须写在答题纸上，写在试题纸上或草稿纸上一律无效。 一、考虑矩阵 1. 找出一个单位下三角阵 和一个上三角阵 ，使得 。 （8 分） 2. 使用题 1 中获得的 分解（即三角分解） ，求解线性方程组 ，其中 。 （8分） 3. 求 的行列式。 （4分） 4. 题 1 获得的 和 是否是唯一满足 的单位下三角阵和上 三角阵？为什么？（5分） 5. 是否存在一个 的 Cholesky 分解？如果你认为存在，求出该 Cholesky 分解； 如果你认为不存在，请说明理由。 （5分） 二、考虑矩阵 ， 。假设 A 共有 个非零的奇异值 ， ，并且令 为对角元是 的对角阵。 1. 证明存在 和 满足 和 （ 表示单位矩阵） ，科目代码：992 科目名称：数值代数 第2页 共4页 使得 。另外，这样的 和 是否一定唯一？为什么？（10分） 2. 证明上述 的每一列均为 的一个特征向量。另外，找出其对应的特征值。 （6分） 3. 令 并假设 的秩为 。用上述 ， ， 以及 来表示线性方程组 的最小二乘解。 （7分） 4. 现在考虑 的情况。证明 关于 范数的条件数 （7分） 三、假设我们获得了 m 组数据 ， ， ， ，并希望找 到 ， 使得 最小。已知上述问题可以表达成一个最小二乘问题 ，其 中 。 1. 用 ， 表示出最小二乘问题中的矩阵 和向量 。 （8分） 2. 上述最小二乘问题的最小二乘解是否一定唯一？如果是，请阐述理由；否则 请提供数据 ， 需要满足的条件， 以使最小二乘解唯一。 （7分） 3. 现假设该最小二乘问题具有唯一的最小二乘解。我们对 A 进行 QR 分解，得到 其中 是正交矩阵， 是上三角阵。证明 为满 秩。另外，用 ， 以及 b来表示该最小二乘解。 （10分） 4. 继续假设该最小二乘问题具有唯一的最小二乘解。写出采用最速下降法解决 该最小二乘问题的算法形式。方便起见，算法可直接使用 和 进行表示。 （10 分） 四、 考虑采用共轭梯度法求解线性方程组 ， 其中 为对称正定矩阵， 。令 为该线性方程组的解。已知共轭梯度法可表达成以下形式： 科目代码：992 科目名称：数值代数 第3页 共4页 ， 其中 为步长， 为搜索方向， 为 次迭代后对于 的估计值。 已知共轭梯度法的搜索方向满足 ， 其中 。 1. 证明对于所有的 ， （7分） 2. 已知共轭梯度法产生的序列 满足 ， 其中 为 关于 范数的条件数。根据上面的不等式给出 关于 1范数的收敛速度，即找出 和 ，使得 ， （10分） 3. 令 。假设存在 使得不等式 对于所有的 都成立。找 出 和共轭梯度法产生的 之间的关系。（5分） 4. 现在令 ， 并且让共轭梯度法的初始值 。求出共轭梯度法每次迭代产生的步长 和搜索方向。 （8分） 五、考虑采用具有如下形式的单步线性定常迭代法求解线性方程组 ，其 中 为非奇异， ： 科目代码：992 科目名称：数值代数 第4页 共4页 其中 ， ， 。 1. 证明如果 ，其中 为矩阵 第 行第 列的元素，那 么上述单步线性定常迭代法产生的序列 收敛。 （5分） 2. 现假设 。把上述单步线性定常迭代法中的 分别取为 和 ，且已知 有两个复数特征值 ， 和三个实数特征值 ， ， ， 有两个复数特征值 ， 和三个实数特征值 ， ， 。那 么这两个单步线性定常迭代法各自产生的序列 是否收敛？为什么？（8分） 3. 如果采用幂法求解题 2中 和 的谱半径，那么哪个矩阵对应的幂法收敛速 度更快？为什么？（4分） 4. 假设 ， 。如果选择 ，是否能够让上述单步线性定 常迭代法收敛到 的解？如果能够实现， 选择一个合适的 ； 如果不能实现， 请说明原因。 （8分）
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