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北京大学数学科学院应用统计硕士考研资料1、该专业考研的基本情况1.1 专业介绍北京大学应用统计专业硕士隶属于北京大学数学科学学院，学制两年，学习年限为两年（4 个学期）。前三个学期以课堂学习为主，总学分为 37 学分。其中马克思主义理论课必修 3 学分，第一外国语必修 4 学分，专业基础课 15 学分，专业方向课 12学分，案例实务课必修 3 学分。专业基础课程包括随机数学(I)、随机数学(II)、统计推断、现代统计计算、实用回归分析、统计软件高级编程、实用多元统计、实用时间序列、实用抽样调查、实用试验设计、应用随机过程、统计咨询实践等课程。专业方向课包括生物统计方向、金融统计方向、工业统计与可靠性方向的专业课程。根据实际招生情况开设一个或两个方向的课程。学生在第二学期后到实际部门实习或在校承担来自实际部门的科研项目进行科研实践，实习实践 3 个月左右。若学生能够提供符合要求的实习报告并经考核小组考核合格，可获得 3 学分案例实务必修课的成绩。学习方式为全日制脱产学习，地点在北京大学校本部1.2 学费本专业学费为两年 6 万元，分两次交清，每次三万元，18 年学费有可能上涨。 1.3 考试科目入学考试分初试和复试。初试时间按国家教育部统一规定进行，初试科目如下： 思想政治理论 英语一、法语任选一门 数学三 432 统计学（包括概率论和数理统计）复试安排报考资格审查将在复试阶段进行。复试时间一般在 3 月份，参加复试的同学应达到北京大学复试分数线。获得复试资格的考生应在复试前到北大研究生院网页下载相关表格，按规定时间提供可以证明自身研究潜能的各种材料。包括攻读研究生阶段的研究计划、学校正式成绩单、科研成果等。复试实行差额复试，择优录取。具体差额比例和初试、复试成绩所占权重根据本学科、专业特点及生源状况在复试前确定。复试将采取笔试、口试或两者相兼的方式进行，以进一步考察学生的专业基础、综合分析能力、解决实际问题的能力和动手能力等。考生的外语听力考试在复试中进行，并计入复试总成绩。1.4 报考录取情况2017 中国人民大学报录比约为 1:1.2，每年招收考研学生在 13 到 15 人之间不等。复试成绩不及格者不予录取。复试成绩及格者我校将根据考生的总成绩择优录取。考生总成绩由三部分组成，即初试成绩、复试成绩、外语听力成绩。1.5 考试特点初试考试基础课要求是政治和英语要在 70+分以上，数学 140+，专业课比较重视基础和计算能力，考试题以计算题为主，其中至少有一道难度较大的证明题，要熟练掌握基本概念，对一般的定理要学会证明。复试分为面试和英语口试，英语口试为一篇自我介绍，老师根据你的自我介绍问一到两个问题，面试为专业问题问答，一般四到五个问题，时间为 20 分钟，回答问题时需要借助黑板进行演算。2、参考书目和学习指南2.1 参考书目汪仁官著，概率论引论，北京大学出版社，2004。茆诗松等著概率论与数理统计，高教版。陈家鼎等著概率与统计，北大出版社。魏宗舒著概率论与数理统计，高等教育出版社。陈家鼎等著：数理统计学讲义，高等教育出版社，2006 年第 2 版。D. Freedman 等著，魏宗舒等译：统计学，中国统计出版社，1997 年。2.2 学习指南第一阶段，熟读教材，将茆诗松的概率论与数理统计教程习题做熟做透。 第二阶段，研究真题。将历年真题反复研究。第三阶段，模拟考试。模拟考试是最终能够完全发挥水平的必经之路，所以在考研前一个月进行三次左右的考试模拟练习，有助于克服考生的紧张情绪。3、专业课知识重点串讲概率论部分(50%)一、随机事件和概率考试内容：随机事件与样本空间 事件的关系与运算 完备事件组 概率的概念 概率的基本性质 古典概率模型 几何概率模型 条件概率 概率的基本公式 事件的独立性 独立重复试验考试要求：1了解样本空间的概念，事件的概念，掌握事件的关系及运算。2理解概率、条件概率的概念，掌握概率的基本性质，会计算古典概率模型和几何概率模型中事件的概率，掌握概率的加法公式、减法公式、乘法公式、全概率公式以及贝叶斯(Bayes)公式等。3理解事件的独立性的概念，掌握用事件独立性进行概率计算；理解独立重复试验的概念，掌握计算有关事件概率的方法。二、随机变量及其分布考试内容：随机变量 随机变量分布函数的概念及其性质 离散型随机变量的概率分布列 连续型随机变量的概率密度 常见随机变量的分布 随机变量函数的分布考试要求：1 理解随机变量的概念，理解分布函数的概念及性质，会计算与随机变量相联系的事件的概率。2 理解离散型随机变量及其概率分布列的概念，掌握两点分布、二项分布、几何分布、超几何分布、泊松(Poisson)分布及其应用。3 掌握泊松定理的结论和应用条件，会用泊松分布近似表示二项分布。4 理解连续型随机变量及其概率密度的概念，掌握均匀分布、正态分布、指数分布及其应用5 会求随机变量的函数的分布。三、多维随机变量及其分布考试内容：多维随机变量及其分布 二维离散型随机变量的联合分布列、边缘分布列和条件分布列 二维连续型随机变量的联合密度、边缘密度和条件密度 随机变量的独立性 常用二维随机变量的分布 两个及两个以上随机变量的函数的分布考试要求：1理解多维随机变量的联合分布函数的概念和性质。2理解二维离散型随机变量的联合分布列和二维连续型随机变量的联合密度，掌握二维随机变量的边缘分布和条件分布。3掌握随机变量相互独立的条件。4掌握二维均匀分布和二维正态分布，理解其中参数的概率意义。5会根据两个随机变量的联合分布求其函数的分布，会根据多个相互独立随机变量的联合分布求其函数的分布。四、随机变量的数字特征考试内容：随机变量的数学期望（均值）、方差、标准差及其性质 随机变量函数的数学期望 切比雪夫(Chebyshev)不等式 矩、协方差、相关系数及其性质 条件期望与最佳预测。考试要求：1 理解随机变量数字特征(数学期望、方差、标准差、矩、协方差、相关系数)的概念，会运用数字特征的基本性质，并掌握常用分布的数字特征。2会求随机变量的函数的数学期望和条件期望3. 利用切比雪夫不等式估计某些事件的概率。4. 理解协方差和不相关的意义, 理解随机变量的不相关性与独立性的关系。五、大数定律和中心极限定理考试内容：概率母函数与特征函数 随机变量的各种收敛定义及其相互关系 大数定律 中心极限定理 Borel-Cantelli 引理考试要求：1 掌握母函数与特征函数的基本性质，能够计算常见随机变量的母函数与特征函数。2 准确叙述随机变量的各种收敛定义，了解各种收敛之间的强弱关系。3 掌握切比雪夫大数定律、伯努利(Bernoulli)大数定律和辛钦(Khinchine) 大数定律(独立同分布随机变量序列的大数定律)。4 掌握棣莫弗-拉普拉斯定理(二项分布以正态分布为极限分布)，并能运用相关定理近似计算有关随机事件的概率。了解列维-林德伯格定理(独立同分布随机变量序列的中心极限定理)。数理统计部分(50%)一、估计理论考试内容：最大似然估计，矩估计，相合性，一致最小方差无偏估计，充分统计量，C-R 不等式，正态分布情形下均值和方差的置信区间，T 分布，卡方分布，枢轴量方法，经验分布函数，直方图，核估计。考试要求：1. 熟练掌握寻找参数点估计的常用方法，并应用于常见分布。 2. 理解掌握点估计的优良性标准，如无偏性，最小均方误差等，了解一致最小方差无偏估计的构造方法及其性质。3. 掌握正态分布情形下置信区间的构造方法，熟悉重要的统计分布。 4. 了解一些非参数估计的思想和基本方法。 二、假设检验考试内容：功效函数，两类错误，无偏检验，一致最优检验，一致最优无偏检验，N-P 引理及似然比检验法，单参数情形的假设检验，F 分布，广义似然比检验法，拟合优度检验。考试要求：1. 熟悉检验问题的背景，掌握功效函数，两类错误等基本概念。2. 掌握 N-P 引理及似然比检验法；能解决单参数指数族的几类基本检验问题。3. 能运用广义似然比检验法，了解临界值的取法和 p 值的涵义。4. 了解一些常用的拟合优度检验。三、回归分析与线性模型考试内容：线性模型，一元线性回归，最小二乘估计，残差，多元回归分析，线性模型的参数估计和假设检验，解的唯一性条件，自变量的选择。考试要求：1. 正确理解回归分析的思想，了解回归方法的应用意义。2. 熟练使用最小二乘法解决线性模型中的参数估计问题。3. 能利用笔算解决简单一元回归参数的假设检验问题；能使用计算机解决多元回归参数的假设检验问题。4. 初步了解通过合理选取自变量来建模的过程。四、方差分析与试验设计考试内容：单因素与双因素全面试验的方差分析，正交设计的基本思想。考试要求：1. 掌握全面试验的方差分析方法。2. 初步了解正交设计的思想，能利用正交表安排试验并分析数据。4、北大应用统计三年真题4.1 2017 北大应用统计考研真题1. X 服从 上的均匀分布，Y 服从 ，X 与 Y 相互独立，求 Z=X+Y 的密度1,00,1U函数。（15 分）2. 服从区域 上的均匀分布，求 X,Y 的相关系数,Y,:01,Dxyyx（15 分）xy3. 长为 1 的木棒截取一截，再将剩下的截为两段，求这三段能够成三角形的概率。（15 分）4. 满足 ，其中 ,各 独立且同分布，其中,ixyiiabx20iNi均未知，现观测到一组新数据 ，计算 的 95%置信区间。（15 分）2abxy5. 一维密度函数 f(x)光滑，且对于任意的 ，均有 ,121212fxfLx为已知常数，现有来自密度为 的简单随机样本， ,定义 Lfx,N，其中 , ，001NiifxK0MKd， ， ， 与 均为已知常数。Kd22kd2k（15 分）证明：（1） （ 5 分）0 1bisafxEfxfC（2 ） （5 分）2CVrfN（3 ）选取合适的 ，使得 （5 分）21 23MSEfxfxfCN6. 设总体 X 的密度 ， ，其中 是示性函数，0,1;PxIxIx，当且仅当 ，否则 ， 为简单随机样本。（15 分）1Ix12,n（1 ）求 的矩估计 （3 分）（2 ）求 的极大似然估计 （5 分）MLE（3 ）讨论的无偏性，相合性（6 分）（4 ）讨论 的无偏性，相合性（ 6 分）MLE7. 两组总体样本 和 ，其中 X 服从二点分布，即 ，12,nx 12,my 1Pxp，其中 、 均未知，m,n 足够大，现构造原假设： ，求2Pypp 02:H在置信水平大约为 的条件下，求拒绝原假设的概率。（15 分）8. 正态总体 , 为一组简单随机样本，求 n 的最小值使得置信水4XN12nx平为 0.95 下的置信区间长度不小于 0.01。（15 分）9. 两两相关， ，相关系数均为 （15 分）12,nx 2,i（1 ）证明： 。（5 分）1（2 ）求 的矩估计 。（5 分）（3 ）证明 的无偏性和相合性。（5 分）10. 假定每个人的生日在每个月的概率均为 ，某学校现抽查 100 人，现从一个装有125 个红球 3 个黑球的袋子里摸球，对于每个摸到球的人，如果摸到红球，则要正确回答问题；生日是否在 7 月 1 日之前，回答“是”或者“不是”；如果摸到黑球，则正确回答问题：是否为同性恋，回答“是”或者“不是”，最终 100 人的回答中有 35 个“是”，65 个 “不是”，求该校同性恋的比例。（ 5 分）4.2 2016 北大应用统计考研真题1. 有 10 个球，7 个黑球，3 个白球，进行无放回的抽 2 次a.求第二次抽到白球的概率 b.已知第二次抽到黑球，求第一次抽到黑球的概率2. X,Y 服从区域 上的均匀分布2,|1Dxya.求 X 和 Y 的分布 b.证明 X 和 Y 不独立3. 假设 是独立同分布的，其密度函数是 ，12,n 2xfe0a.求 的极大似然估计 b.证明 的无偏性 c.说明 是否为强相合估计并证明nn4. 假设检验问题，对 A，B 的亩产进行比较。已知：A: ， ， 21,XN5x2xsB: ， ，2Y40y3ya.求 ， 的 95%置信区间 1b. 假设检验 A,B 的亩产是否有显著性差异（即 ）012:H5. a.叙述 N-P 引理b.利用 N-P 引理推导 UMP 否定域，并求犯第二类错误的概率。vs 其中 为简单样本，00:Hfxf11:Hfxf12,nx,XNXN（其实 b 问就等价于 vs 在 的条件下）01:12:216. （多元回归问题） , Tiiiyx,3.n.120idN其中 X 列满秩12,nXxa. 求 ， 的极大似然估计b. 求 的分布c. （一元回归问题） 求 a,b 的极大似然估计。iiyabx7. 独立， ， ， 为常数 ，12,nx 1nPx10nPx求当 取什么值时，a. b. 。0.as8. .121,idnxExpa. 求 的极大似然估计 b. 求费希尔信息量 Ic. 是否能找到 的无偏估计其方差达到 的 C-R 下界。4.3 2015 北大应用统计考研真题一、袋子里有 3 个红球和 2 个黑球，进行摸球游戏。当摸到红球时，将红球放回，再往里面放一个红球；若摸到黑球，游戏结束。求进行了三次摸球游戏的概率。二、开会信息通过三种方式传达，使用短信发送的概率为 0.3，使用邮件发送的概率为 0.2，使用电话通知的概率为 0.5；使用短信成功送达的概率为 0.7，使用邮件成功送达的概率为 0.6，使用电话通知成功送达的概率为 0.9。信息一旦成功送达则被通知者将准时赴会，求：（1 ）被通知者准时赴会的概率。（2 ）若已知被通知者准时赴会，则求使用短信发送的概率。三、 ， ，求 X,Y 之间的相关系数。2,XNaby2,YNu四、有五个灯泡，灯泡寿命服从指数分布 Exp(0.02)（1 ）五个灯泡寿命都大于 500 的概率；（2 ）若存在至少一盏灯正常工作则机器正常工作，五个灯泡全都损坏则机器故障，求机器寿命的期望。五、考察棣莫弗-拉普拉斯中心极限定理，题型常规
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