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1 / 1 西安建筑科技大学 2019 年攻读硕士学位研究生招生考试试题 (答案书写在本试题纸上无效。考试结束后本试题纸须附在答题纸内交回 ) 共 1 页 考试科目 : （ 620） 数学分析 适用专业 : 数学 一、计算题（共 6 题，每题 10 分，共 60 分） 1、 求函数极限或已知极限确定参数 。 （ 1） 2 104 c o slim (1 c o s ) (1 )s in ln xxxx， （ 2）设 ,ab为实数，确定 ,ab的值，使得 21lim 31xx ax bx . 2、设有方程 10nx nx ，其中 n 为正 整 数，证明此方程存在惟一正实根 xn，并证明当 1a 时， 数项 级数 1ann x收敛。 3、 设 ( , )z z x y 是由 2 2 26 1 0 2 1 8 0x x y y x y x 确定的隐函数，求 ( , )z z x y 的极值点和极值 。 4、 求曲面积分2 2 2S x d y d z y d zd x z d x d y，其中 S 为锥面 2 2 2x y z与平面 zh （ h 是正 常数 ）所围空间区域 (0 )zh 的表面，方向取外侧。 5、 求圆柱面 222x y x被圆锥面 2 2 24( )z x y所截得的有界部分立体 的体积。 6、 设 ()fx为二阶可导函数， ()Fx为可微函数， a 为正常数，二元函数 ( , )u u xt 如下定义11( , ) ( ( ) ( ) ) ( )22 x a tx a tu x t f x a t f x a t F v d va . 求 偏导数 2 2,u u ut x x . 二、证明题（ 共 6 题，每题 15 分 ，共 90 分） 7、设 0,a 0,1 1 ( ),2 a aa 1 1 ()2nnna aa ， 1,2,n ， 证明数列 na 收敛 。 8、设函数 ()fx在 0, 上连续，且0 ( ) 0f x dx ，0 ( ) cos 0f x xdx 。试证：在 0, 内至少存在两个不同的点 1 、 2 ，使 12( ) ( ) 0ff. 9、 设可导函数 ()fx的 导函数 ()fx 在区间 0,1 上连续， （ 1） 求证： 1 30l i m ( 3 1 ) ( ) (1 )nn n x f x d x f ； （ 2） 利用导数定义证明 函数 30( ) ( )xF x f t dt是 0,+) 上的 可导函数，且 ( ) 3 (3 )F x f x . 10、 若函数 ()fx 在 0x 处 连续，在开区间 (0, )a 内可导，且 ()fx 在 0x 的右极限 存在，求证：右 导 数 (0)f 的 存在 。 11、 求证：（ 1）函数项级数0( 1) 1nnnnxnx在开区间 (0, + ) 内一致收敛； （ 2）函数 00()x tx tte dtxe dt 为开区间 (0, + ) 上的增函数。 12、已知平面区域 yxyxD 0,0),( ， L 为 D 的正向边界，试证： （ 1） dxyedyxedxyedyxe yLxxLy s ins ins ins in ； （ 2） 2s ins in 2 dxyedyxe xLy .
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