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2019 年全国硕士研究生入学统一考试数学（二） 模拟试卷 一、选择题：1-8 小题，每小题 4 分，共 32 分，在每小题给出四个选项中，只有一个符合要求，把所选项前的字母填在题后的括号里（1 ）设 二阶可导， ， ，令 ，则(),fxg(0)fg(0)fg0()()xFftgd（）（A）点 为 的极大值点0x()F（B）点 为 的极小值点（C）点 为曲线 的拐点(0,)()yx（D）以上都不对（2 ）设 ，以下结论正确的是（）22tantantan,(),(),()4 xxfghxx（A） （B）fgh ()gf（C） （D）()()xfxfxhgx（3 ）记 ，下列2 2 22 2 23 3 31 311, ,1xy xy xyIydIydIydx 结论成立的是（）（A） （B） （C） （D）213II123II321II231II（4 ）设 在 上连续，且 ，则对于微分方程 的任一解 均()fx0,)lim()1xf()dyfxy有（）（A） （B） （C） （D） 不存在limxylixylixylimxy（5 ）设 在点 处连续，则（）(,)zf0(,)P（A） 在 处连续,fxk0x（B） 与 分别在 和 处连续0(,)fy0(,)fy0x0y（C） 在 处于 在 处仅有一个连续0,fx0x0(,)f0（D） 在 处于 在 处都不一定连续0(,)fy00,fy0（6 ）极坐标系下的二次积分12cos 24 sin0 04(,sin)(co,sin)dfrrdfrrd 可化为直角坐标系下的二次积分（）（A） （B）220(,)xdfyd 220(,)xdfyd（C） （D）210,yfx 210,yf（7 ）设 为 阶矩阵，则（）,Bn（A） 与 均不可逆的充要条件是 不可逆AB（B） 均成立的充要条件是(),()r()rn（C） 与 同解的充要条件是0xB（D） 与 相似的充要条件是 与 相似AEAB（8 ）下列说法正确的是（）（A） 为 阶方阵， ，则 有 个非零特征值， 个零特征值n()1rrnr（B） 为 阶非零矩阵，满足 ，则 的特征值中有两个零， 个非零202（C） 为 阶对称方阵， ，则 的特征值中有 个 1， 个零,()ArArr（D） 为 阶对称方阵， 经过初等行变换化为 ，则 的特征值完全相同An B,二、填空题：9-14 小题，每小题 4 分，共 24 分，把答案填在题中的横线上（9 ） 12lim()nn （10 ）已知方程 无实根，则实数 的取值范围为 axea（11 ）当 时， 有一阶连续导数，且 满足 ，则 =0u()fu(1)0,()xyfzfe1zxy()fu（12 ）圆柱面 介于平面 与上半圆锥面 之间部分的面积为 21xyz2（13 ）设 为连续函数，且 ，则 = ()f 10()1fxftd()fx（14 ）设 为五阶方阵，满足 ，则 = A*2TAOA三、解答题：15-23 小题，共 94 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤（15 ）（本题满分 10 分）求过原点的曲线 ，使曲线上任一点 的法线段()yxP（ 是过 点作曲线法线与 轴的交点）的中点位于抛物线 上PQx 2yx（16 ） （ 本题满分 10 分）设 在 上连续，在 内二阶可导，且()fx0,1(0,1)，又 在 上的最大值为 .证明对于任意(0)1,()0,ffx()f,0()fxM的正整数 ，存在唯一的点 ，使得n,n()nfx（17 ） （ 本题满分 9 分）计算积分 ，其中3221DIdaxy:0,Dxay（18 ） （ 本题满分 11 分）设有抛物线 和圆 .（I）确定 的取值范围，21:Cxay2:xya使得 相交于 三点（如图）；（II）求抛物线 与弦 所围平面图形面积12,C,OAB1CAB的最大值；（III）求上述具有最大面积的平面图形绕 轴旋转一周所得旋转体的体积()Sa xV（19 ） （ 本题满分 11 分）计算曲线积分 ，其中 为 （其中2LydxIAL22(1)xyR且 ），取逆时针方向0R1（20 ） （ 本题满分 11 分）验证方程 经变换 可化为可分离变量的方程，并()xdyfxyu由此求方程 2(1)yxd（21 ） （ 本题满分 9 分）设函数 ，计算二重积分 ，其中(),1(,)1,xyfy(,)Dfxyd22:(1)Dxy（22 ） （ 本题满分 11 分）设 为四维列向量组， 线性无关，1234,123,.已知方程组 有无穷多解.（I）求 的值；412331234(,)txt（II）求方程组 的通解123124(,)tx（23 ） （ 本题满分 11 分）已知二维非零向量 不是二阶方阵 的特征向量. A（I）证明： 线性无关；,xA（II）若 ，求 的特征值，并讨论 能否相似对角化260A
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